অনুরূপ কোণদ্বয় সমান হলে রেখা দুইটি সমান্তরাল

দুইটি সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হলে রেখাদ্বয় সমান্তরাল

হ্যালো!

আমরা সবাই নিশ্চয় সমান্তরাল সরলরেখা সম্পর্কে মোটামুটি জানি এবং জ্যামিতির দুনিয়ায় এই সমান্তরাল সরলরেখাকে বিভিন্নভাবে কাজে লাগাই। এই আলোচনাতে আমরা প্রমাণ করবো যে যদি এক জোড়া সরলরেখাকে একটি সরলরেখা ছেদ করে এবং এতে উৎপন্ন অনুরূপ কোণগুলো সমান হয় তবে সরলরেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে।

আমরা জানি যে, দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।

উপরের চিত্রে, $AB$ ও $CD$ দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা এবং $EF$ সরলরেখা গুলোকে যথাক্রমে দুইটি বিন্দু $G$ ও $H$ তে ছেদ করেছে। $EF$ সরলরেখা $AB$ ও $CD$ সরলরেখাদ্বয়ের ছেদক যেখানে $GH > 0.$ ছেদকটি $AB$ ও $CD$ সরলরেখা দুইটির সাথে বেশ কিছু অনুরূপ কোণ উৎপন্ন করেছে এবং এগুলো প্রত্যেকেই সমান। যদিও চিত্রে আমরা কেবল এক জোড়া অনুরূপ কোণ $\angle EGB$ ও $\angle GHD$ কে দেখিয়েছি। মূল কথা হল দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান। এটা আমরা জানি।

কিন্তু এখানে আমাদেরকে যেটা প্রমাণ করতে হবে সেটা হল* “দুইটি সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হলে রেখাদ্বয় সমান্তরাল।”*

চল শুরু করা যাক।

আমরা এটা “কন্ট্রাডিকশন” এর সাহায্যে প্রমাণ করব। অর্থাৎ যেটা প্রমাণ করতে হবে আমরা তার বিপরীতটিকে সত্যি বলে বিবেচনা করব।

আরেকটু বিস্তারিতভাবে বলা যাক।

আমরা দেখানোর চেষ্টা করব যে “দুইটি সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন অনুরূপ কোণ জোড়া সমান্তরাল হলে রেখাদ্বয় সমান্তরাল” এটা ভুল। তার মানে আমরা দেখাব যে $\angle EGB$ ও $\angle GHD$ কোণদ্বয় সমান এবং $AB$ ও $CD$ সরলরেখাদ্বয় সমান্তরাল নয়।

সেক্ষেত্রে আসলে কি তৈরি হবে তা চিন্তা করে দেখ। যেহেতু $AB$ ও $CD$ সরলরেখাদ্বয় সমান্তরাল নয় সেহেতু তারা নিশ্চয় কোন একটি বিন্দুতে ছেদ করবে। মনে করি যে বিন্দুটি $X$. ব্যাপারটাকে চিত্রের মাধ্যমে দেখা যাক।

শর্তানুযায়ী চিত্রে $AB$ ও $CD$ দুইটি অসমান্তরাল রেখা $X$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $EF$ সরলরেখা গুলোকে যথাক্রমে দুইটি বিন্দু $G$ ও $H$ তে ছেদ করেছে। $EF$ সরলরেখা $AB$ ও $CD$ সরলরেখাদ্বয়ের ছেদক যেখানে $GH > 0$ এবং $\angle EGB = \angle GHD$ কিংবা $\angle EGX = \angle GHX [$যেহেতু $X$ যথাক্রমে $GB$ এবং $HD$ রেখার উপর একটি বিন্দু।$]$

একটা মজার জিনিস খেয়াল করেছ কি? $AB$ ও $CD$ অসমান্তরাল হওয়াই তাদের ছেদবিন্দু $X, GH$ রেখার সাথে একটি ত্রিভুজ গঠন করেছে এবং তা হল $\triangle XGH$!

এবারে $\triangle XGH$ কে নিয়ে একটু ছিনিমিনি খেলা যাক! ;)

ত্রিভুজের ‘বহিঃস্থ কোণ’ উপপাদ্য অনুযায়ী $\triangle XGH$ এ

$\angle EGX = \angle GXH + \angle GHX.....(1)$

আবার আমরা আগে থেকেই জানি যে,

$\angle EGX = \angle GHX$

এখন $\angle EGX$ এর মান $(1)$ এ বসিয়ে পাই,

$\angle GHX = \angle GXH + \angle GHX$

উভয় পক্ষ থেকে $\angle GHX$ কে বর্জন করে পাই,

$0 = \angle GXH$

অথবা $\angle GXH = 0$

অতএব যদি আমরা $\angle EGX$ ও $\angle GHX$ কোণদ্বয়কে সমান ধরি এবং $AB$ ও $CD$ রেখাদ্বয়কে অসমান্তরাল বিবেচনা করি সেক্ষেত্রে এই বিদঘুটে সমীকরণটি অর্থাৎ $\angle GXH = 0$ আসবে। এটা কখনোই সম্ভব হতে পারে না। কেননা $\angle GXH = 0$ হলে কখনোই কোন ত্রিভুজ গঠিত হতে পারবে না। এছাড়া $\angle GXH = 0$ তখনই সম্ভব হবে যখন $GH$ এর দৈর্ঘ্য $0$ হবে। কিন্তু আমরা আগেই বলেছি যে $GH > 0.$ সুতরাং $\angle GXH$ এর মান কখনোই $0°$ হতে পারবে না।

তাহলে আমরা এখন কী সিদ্ধান্তে আসতে পারি?* আমরা এই সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে, যদি দুইটি সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হয় সেক্ষেত্রে ঐ রেখাদ্বয় কখনোই অসমান্তরাল হতে পারবে না। অর্থাৎ রেখাদ্বয় সর্বদা সমান্তরাল হবে।*

কিছু সমস্যা

১. $\triangle ABC$ এর $BC$ বাহুকে $L$ পর্যন্ত বর্ধিত করা হল এবং $BD$ রেখার উপর $C$ বিন্দুতে $CE$ লম্ব আঁকা হল। এখন $\angle ABC = 55°$ এবং $AB$ রেখার সমান্তরাল করে $FC$ আঁকা হলে, $\angle FCE$ এর মান কত?

২. $\triangle ABC$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে ভূমি $BC$ এর সমান্তরাল $EF$ রেখা $AB$ এবং $AC$ কে যথাক্রমে $E, F$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। $\angle B = 52°$ হলে, $\triangle AEF$ ত্রিভুজে $\angle A + \angle F$ এর মান নির্ণয় কর।

ভালো থেকো! :)

In this section, we will prove that if two lines are cut by a transversal and the corresponding angles are congruent, then the two lines are parallel.

Instead of using a direct proof, we shall use proof by contradiction. Assume that the two lines, say $m$ and $n$, instersect at a point $C$ and are thus not parallel.

Note that $\angle{CBA}$ is supplementary to $\angle{CBD}$. We know that $\angle{CBD} = \angle{CAB}$, so let's call their measure $x$. Then we have $\angle{CBA} = 180^{\circ} - x$.

But notice something about triangle $ABC$! What do we know about the angles in a triangle?

The sum of the angles in a triangle is $180^{\circ}$! So we know that $$\begin{align*} 180^{\circ} &= \angle{CBA} + \angle{CAB} + \angle{ACB} \\ 180^{\circ} &= (180^{\circ} - x) + x + \angle{ACB} \\ 0^{\circ} &= \angle{ACB} \\ \end{align*}$$

But the only way for $\angle{ACB} = 0^{\circ}$ is if the two lines coincide with each other! Instead, they intersect each other at a point! Therefore, the two lines could not intersect; they must be parallel. $\Box$

Note that they can't coincide if $A$ and $B$ are distinct points.

Two of the Five ways to Prove that Two Lines are Parallel are:

1. Show that a pair of corresponding angles are congruent

2. Show that a pair of alternate interior angles are congruent

3. Show that a pair of same-side interior angles are supplementary

4. In a plane show that both alines are perpendicular to a third line

5. Show that both lines are parallel to a third line

For now we will be focusing on $1$ and $2$

To prove two lines are parallel by showing that a pair of corresponding angles are congruent, we use the theorem.

Theorem: If two parallel lines are cut by a transversal, the corresponding angles are congruent.

Consider the figure below:

Given $\angle\overline{{LM}}$ || $\angle\overline{{CD}}$ (line $LM$ is parallel to line $CD$), $\angle{1}$ $\cong{\angle{2}}$. $\angle{FED}$ is congruent to $\angle{MBE}$, therefore lines LM and CD are parallel.

In this lesson we were trying to make congruent angles so that lines are parallel. And in this worksheet we will do just that! Have fun!