অন্তর্বৃত্ত ও বহির্বৃত্ত

আমরা এই আর্টিকেলটিতে ত্রিভুজের একটি কেন্দ্র নিয়ে জানব। আমরা এর আগে হয়তো ত্রিভুজের আরও কিছু কেন্দ্রের নাম শুনেছি। যেমন ভরকেন্দ্র, পরিকেন্দ্র। ত্রিভুজের এরকম আরেকটি সুন্দর কেন্দ্র আছে, যার নাম অন্তঃকেন্দ্র। আচ্ছা, সেটা নিয়ে পরে ভাবি। আমরা আপাতত সহজবোধ্য কিছু দিয়ে শুরু করি।

নিচের ছবিটি দেখ। একটি বৃত্ত ত্রিভুজের ভেতরের তিনটি বাহুকেই স্পর্শ করছে।

কিন্তু ত্রিভুজের ভিতর এমন একটি বৃত্ত যে থাকবেই, তার গ্যারান্টি কি? চল, আমরা বুদ্ধি খাটিয়ে এটার অস্তিত্বের রহস্য বুঝার চেষ্টা করি।

আমরা অনেক সহজ একটা কাজ দিয়ে শুরু করি। চল এমন একটি বৃত্ত আঁকি, যেটা শুধু মাত্র একটি বাহুকে স্পর্শ করছে।

এবার চল এই বৃত্তটাকে আমরা বড় করতে থাকি যতক্ষণ না এটা আরেকটি বাহুকেও স্পর্শ করে। আমরা এমন ভাবে বড় করব যেন বৃত্তটা আগের বাহুটিকেও স্পর্শ করতে থাকে।

এবার আমরা বৃত্তটিকে $B$ বিন্দু বরাবর বড় করতে থাকি চল।

বৃত্তটি কিন্তু এখনো সব বাহুকে স্পর্শ করছে না। চল আমরা আবার সামান্য একটু বড় করি।

আমরা বোধয় একটু বেশি বড় করে ফেলেছি। আরেকটু ফেরত যাই চল।

এবং আমাদের কাজ শেষ! আমরা বাকিটা আর্টিকেল জুড়ে এই বৃত্ত নিয়েই আলোচনা করব। এই বৃত্তের নামই অন্তঃবৃত্ত। আর তার কেন্দ্রের নামই অন্তঃকেন্দ্র। চল আমাদের সুবিধার জন্য কিছু প্রধান বিন্দুগুলোকে লেবেল করি।

$1.$ $I$ হলো অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র, অর্থাৎ অন্তঃকেন্দ্র।

$2.$ $D,E,F$ হলো অন্তঃবৃত্তের সাথে $BC,CA,AB$ বাহুর স্পর্শবিন্দু।

এবার প্রথমেই আমরা দেখাব যে $I$ হলো $A,B,C$ কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দু।

ধর $P$ হলো $\angle ABC$ এর সমদ্বিখণ্ডকের উপর যেকোনো একটি বিন্দু। তাহলে $P$ থেকে $BA$ ও $BC$ বাহুর দূরত্ব সমান। অর্থাৎ $M,N$ যদি $P$ হতে $BA,BC$ এর উপর লম্বের পাদবিন্দু হয়, তবে $PM=PN$।

আমরা যদি দেখাতে পারি $\triangle PBM \cong \triangle PBN$, সেটা থেকেই কিন্তু বুঝা যায় যে $PM=PN$। সুতরাং আমরা সেটা প্রমাণ করারই চেষ্টা করি চল। আমরা জানি যে $$\angle PBM=\angle PBN$$ যেহেতু $P$ কোণের সমদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত। আবার, $$\angle PMB=\angle PNB=90^{\circ}$$

সুতরাং $\angle MPB = \angle NPB$। অর্থাৎ $\triangle PBM$ ও $\triangle PBN$ ত্রিভুজ দুইটিতে তিনটি কোণ পরস্পরের সমান। আবার $PB$ বাহুটি দুইটি ত্রিভুজেই কমন। সুতরাং $\triangle PBM \cong \triangle PBN$। আমাদের কাজ এখানে শেষ।

আমরা কিন্তু সঙ্গে $BM=BN$ ও পাচ্ছি। এই বোনাস তথ্যটি আমরা সামনে কাজে লাগাব।

Beautiful picture

I wonder how special this is. What if I try this with another triangle...

Yes, given two sides, it's always possible to move a circle so that it is tangent to the lines that those two sides form.

Let's get back to the mission of making the circle tangent to all three sides of the triangle.

Circle 1:

We then get this:

Perhaps we could actually do this procedure on any triangle:

1. Start with a circle

2. Move it until it is tangent to two sides

3. Adjust its size, keeping it tangent to lines $AB$ and $AC$ (which means: moving its center along the angle bisector of $\angle A$), until it is tangent to $BC$ too.

And now, the grand finale!

Beautiful, indeed! And, since $I$ has the same distance to all three sides of the triangle, when we draw the circle centered at $I$ with that radius, we just touch each side at a point of tangency, like this:

No wonder the Greeks were fascinated. We call this special point $I$ the incenter of triangle $ABC$, and we call the corresponding circle the incircle. It's easy to construct the incenter: just draw angle bisectors, and mark their intersection point.

We're all done!

The figure above shows $I$ as the incenter of $\bigtriangleup ABC$ How do you find $I$?