সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ উপপাদ্য

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উপপাদ্য টি হলো, একটি ত্রিভুজের দুইটা বাহু পরস্পর সমান হলে তাদের বিপরীত কোণগুলোও সমান।

এটিকে অন্যভাবে বলা হয় যে, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভুমি সংলগ্ন কোণ সমূহ সমান।

এই উপপাদ্য টি শুনতে যেমন সাধারণ, প্রমাণটাও ঠিক তেমন সোজা। তবে আমি অনুরধ করব যে তোমরা নিচের প্রমাণটি পড়ার আগে নিজে চেষ্টা করে দেখো।

*** এটির প্রমাণ বুঝার জন্য তোমাদের বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য টি বুঝা জরুরি। যদি না পারো তাহলে এখান থেকে দেখে নাও বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য টি।***

আস এখন আমরা উপপাদ্য টি প্রমাণ করে ফেলি !!! মনে করি, $\triangle ABC$ একটি ত্রিভুজ, যার $AB = AC$. প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle ABC = \angle ACB$. অথবা, $\angle C = \angle B$ আস আগে চিত্রটি এঁকে ফেলি।

এই চিত্রটি থেকে কিছু বের করা সম্ভব না। তাই আমাদের কিছু আঁকতে হবে।

তাহলে চিত্রটি হয় এমন,

এবার দেখ আমরা কীভাবে সর্বসম ত্রিভুজ খুঁজে পাই এখানে।

1. $AC = AB$
2. $\angle CAD = \angle BAD$ [কেননা $AD$ হচ্ছে $\angle A$ এর সমদ্বিখণ্ডক।]
3. আর, $AD = AD$ [সাধারণ বাহু]

অতএব, বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য থেকে পাই, $\triangle ACD$ $\cong$ $\triangle ABD$

তাই, $\angle C = \angle B$

এবং প্রমাণ শেষ !!! কী মজা !!!

The isosceles triangle theorem simply states that "If two sides of a triangle are congruent, the angles opposite them are congruent." This is quite obvious to most, as many people take it for granted that the two base angles of an isosceles triangle are congruent.

The proof for this theorem is also quite straightforward.

The first step requires you to draw the angle bisector AD.

Now, because of the triangle congruency postulate SAS, we can say that triangle CAD is congruent to triangle BAD. Because Congruent Parts of Congruent Triangles are Congruent(CPCTC), we can say that angle ACD is congruent to angle ABD.

Isosceles triangle theorem

The isosceles triangle theorem is a very important theorem. It states that the angles opposite the two equal sides of an isosceles triangle are equal. Aryaman Khandelwal proved it by defining an angle bisector. I will show you a different proof which doesn't require you to draw any new points.

Let $\triangle ABC$ be a triangle such that $|AB|=|AC|$. $\triangle BAC \cong \triangle CAB$, because $|BA|=|CA|$, $|AC|=|AB|$ and $\angle BAC = \angle CAB$. So, $\angle ACB = \angle ABC$.

We can prove the converse of this theorem similarly. Let $\triangle ABC$ be a triangle such that $\angle ACB =\angle ABC$. $\triangle BAC \cong \triangle CAB$, because $|BC|=|CB|$, $\angle ACB = \angle ABC$ and $\angle BAC = \angle CAB$. So, $|BA|=|CA|$.

The Isosceles Triangle Theorem States that if a triangle contains 2 congruent sides, then the angles opposite those sides are congruent. This theorem can be proved using the Law of Sines:

The Law of Sines states that: $$\begin{align} \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} \! \end{align}$$ If $a=c$, making $\triangle ABC$ an isosceles triangle, then \begin{align} \frac{a}{\sin A} ,=, \frac{a}{\sin C} ! \end{align} By simply dividing both sides of the equation by a and raising to the power of negative 1, we are left with \begin{align} {\sin A} ,=, {\sin C} \end{align} And therefore m$\angle$A=m$\angle$C.

The converse of the Isosceles Triangle Theorem can be proved in a similar manner.

On each of the worksheets just linked to, please try problems 4-10. Have fun!