বর্ধন : টলেমির উপপাদ্য ও অসমতা

সহজ একটা প্রশ্ন দিয়ে শুরু করি।

এবার তাহলে বল,

তাহলে যেকোনো বহুভুজের বাহু ও কর্ণের দৈর্ঘ্যগুলোর মধ্যে নিশ্চয়ই কোনো একটা সম্পর্ক রয়েছে।

টলেমির উপপাদ্য ও অসমতা বহুভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যের এই সম্পর্ক সংক্রান্ত সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ (এবং সুন্দর!) ফলাফল গুলোর মধ্যে একটি ।এটি মূলত চতুর্ভুজের বাহু ও কর্ণগুলোর মধ্যে একটি সম্পর্কের কথা বলে। টলেমির উপপাদ্য অনুসারে,
যদি $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয়, তাহলে

$AB.CD + AD.BC = AC.BD$

প্রমাণ:

আগে নিজে নিজে প্রমাণ করার চেষ্টা কর ,তারপর ফিরে এসো ।এটা অনেক ভাবে প্রমাণ করা যায় ।

প্রমাণ:

$BD$ কর্ণের উপর এমন একটি বিন্দু $E$ নেই যেন $\angle BAE=\angle CAD$ হয় ।

এখন,$\angle ABE=\angle ACD$ ।

তাহলে,
$\dfrac{ AB}{AC}=\dfrac{ BE}{CD}$

$\Rightarrow$ $AB.CD = AC .BE$ $.................. (1)$

একইভাবে , $\triangle AED$ এবং $\triangle ABC$ এ $\angle BAC =\angle EAD$ (যেহেতু ,$\angle BAE=\angle CAD$) এবং $\angle ADE=\angle ACB$ ।

সুতরাং , $\triangle AED \sim \triangle ABC$।অর্থাৎ,

$\dfrac{ AD}{AC}= \dfrac{ED}{BC}$

$\Rightarrow$$AD.BC =AC.ED$ $.....................(2)$

সমীকরণ $(1)$ ও $(2)$ যোগ করে পাই,
$AB.CD + AD.BC = AC.(BE + ED) =AC.BD$

এ সমতার অংশটি কোন চতুর্ভুজের বৃত্তস্থ হওয়ার জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত এবং একই সাথে যেকোনো বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য ।

কিন্তু আমরা যা খুজছি ,টলেমির উপপাদ্য তার একটি ছোট অংশ মাত্র ।

কিন্তু , তোমাদের মনে কি কখনো প্রশ্ন জেগেছে চতুর্ভুজের জন্য এমন কোন অসমতা সম্ভব কি না ?

তাহলে তোমার প্রশ্নের উত্তর হছে ** টলেমির অসমতা** ।

সমতলে অবস্থিত যেকোনো 4টি বিন্দু তাদের নিজেদের মধ্যে ঠিক 6টি দূরত্ব তৈরি করে । এই 6টি দূরত্বের মধ্যে একটি সম্পর্ক হচ্ছে ** টলেমির অসমতা**।

টলেমির অসমতা অনুযায়ী:

যদি $A,B,C,D$ একই সমতলে অবস্থিত চারটি বিন্দু হয় ,তাহলে

$AB.CD + AD.BC$$\geq$$AC.BD$

সমতা হবে , যদি ও কেবল যদি $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় । (মজার ব্যাপার হল এটিকে ত্রিমাত্রিক স্থানের জন্যও বর্ধিত করা যায় ! )

প্রমাণ:

আবারো, আগে নিজে নিজে চেষ্টা কর।

প্রমাণ:

ধরি, $X$ ও $Y$ যথাক্রমে $BD$ ও $AC$ কর্ণের উপর এমন দুটি বিন্দু যেন $\angle BAX = \angle CAD$ এবং $\angle YBA =\angle DCA$ হয় । $BY$ ও $AX$ রেখাদ্বয় $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে $\triangle ABE \sim \triangle ACD$।অর্থাৎ,

$\frac{ AB}{AC}=\frac{ BE}{CD}$

$\Rightarrow$$AB.CD = AC .BE$ $..................... (1)$

একইভাবে পাই $\dfrac{ AB}{AC}=\dfrac{ AE }{AD}$

যেহেতু$\angle BAE = \angle EAD$।তাই বাহু-কোন-বাহু সদৃশতা থেকে পাই,$\triangle AED \sim \triangle ABC$. তাহলে,

$\dfrac{ AD}{AC}= \dfrac{ED}{BC}$

$\Rightarrow$$AD.BC =AC.ED$ $.....................(2)$

সমীকরণ $(1)$ ও$(2)$ যোগ করে পাই,

$AB.CD + AD.BC = AC.(BE + ED)$$\geq$$AC.BD$ (“ত্রিভুজ অসমতা” অনুসারে)

সমতা হবে , যদি ও কেবল যদি $D,E,B$একই সরলরেখায় অবস্থিত হয়। এটি হতে পারে যদি ও কেবল যদি $\angle DCA = \angle YBA =\angle DBA$ হয় অর্থাৎ $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় ।

টলেমির অসমতা আরও অনেকভাবে প্রমাণ করা যায়(যেমন সিমসন রেখা, ইনভারসন, জটিল সংখ্যা, ত্রিকোণমিতি সহ আর অনেক কিছু ব্যবহার করে প্রমাণ করা যেতে পারে)। চেষ্টা করে দেখ তমি কতগুলো খুজে পাও।

মজাদার ব্যাপারটা হল , টলেমির অসমতা টলেমির উপপাদ্যের তুলনায় অনেক বেশি স্বাধীন ।যেকোনো চারটি বিন্দুর জন্য অর্থাৎ যেকোনো চতুর্ভুজের জন্য এটি সত্য । চতুর্ভুজটি উত্তল বা সরল হওয়ারও কোন প্রয়োজন নেই , এমনকি বিন্দুগুলি একি সমতলে না থাকলেও এটি সত্য । এই টলেমির উপপাদ্যের আরো বর্ধিত রূপ হচ্ছে ক্যাসির উপপাদ্য । এটি জ্যামিতির সবচেয়ে সুন্দর ও শক্তিশালী ফলাফল গুলোর মধ্যে একটি ।

টলেমির উপপাদ্য ও অসমতা সংক্রান্ত কিছু গুরুত্বপূর্ণ অনুসিদ্ধান্ত:

হ্যাঁ , পিথাগোরাসের উপপাদ্যকেও টলেমির উপপাদ্যের একটি অনুসিদ্ধান্ত হিসেবে লেখা যায় !

প্রমাণ:

ধরি $\triangle ABC$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle ABC$ সমকোণ । $D$ এমন একটি বিন্দু যেন $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র হয় ।তাহলে $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। কেন? ভেবে দেখো ।

টলেমির উপপাদ্য অনুসারে পাই, $AB.CD + BC.DA =AC.BD$ । কিন্তু $AB=CD$ ,$BC=DA$ ,$AC=BD$ ।

ফলে $AB^2 +BC^2=AC^2$ , যা পিথাগোরাসের উপপাদ্য নামে পরিচিত ।

$(2)$ ধরি , $\triangle ABC$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ , $\triangle ABC$ এর পরিবৃত্তের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু $P$ । $P$ বিন্দুটি যদি $BC$ চাপের (যেটি $A$ বিন্দুকে ধারণ করে না) উপর অবস্থিত হয় ,তবে প্রমাণ করো, $PB + PC = PA$ ।

প্রমাণ: ধরি সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$। টলেমির উপপাদ্য অনুসারে $a.PB +aPC= aPA$
$\Rightarrow$$PB +PC=PA$

(এই ফলাফলটিকে যেকোনো বিজোড় সংখ্যক শীর্ষবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের জন্য বর্ধিত করা যায়)।

টলেমির উপপাদ্য দিয়ে এরকম চমৎকার সব জিনিস প্রমান করা যেতে পারে । উপরের সমস্যাটিতেই যদি টলেমির উপপাদ্য ব্যবহার না করে টলেমির অসমতা ব্যবহার করা হয় তাহলে নিচের ফলাফলটির মত কিছু একটা পাওয়া যেত ।

$\triangle ABC$ একটি সমবাহু ত্রিভুজ , আর $P$ ওই সমতলে অবস্থিত কোনও একটি বিন্দু । প্রমান করো $PA +PB \geq PC$ ।

প্রমাণ: ধরি সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ । টলেমির অসমতা অনুসারে $$a.PA +a.PB \geq a.PC\implies PA +PB \geq PC$$ ভালো কথা হল , টলেমির উপপাদ্যের মত $P$ কে $B$ ও $C$ মাঝে থাকতে হবে এমন কোনো বাধ্যবাধকতা টলেমির অসমতায় নেই । ফলে একইভাবে , $PB +PC \geq PA$ ও $PA +PC \geq PB$ এগুলাও সত্য ।

একটু খেয়াল করলে দেখতে পাবে ,$P$ বিন্দুটি $\triangle ABC$ এর পরিবৃত্তস্থ না হলে , $PA$ , $PB$ ও $PC$ এর সমান দৈর্ঘ্যের বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করা যায় । **কেন ? ** খুজে বের কর।

উপরের জিনিস গুলো ব্যবহার করে আরো মজাদার কিছু করা যাক ।

$(3)$ ধরি ,$\triangle ABC$ এর সমতলে অবস্থিত কোন বিন্দুর জন্য , ঐ বিন্দু হতে $A$ ,$B$ ও $C$ এর দূরত্বের যোগফল সর্বনিম্ন হবে ? অর্থাৎ , কোন বিন্দু $P$ এর জন্য $AP+BP+CP$ এর মান সর্বনিম্ন হবে ?

আচ্ছা , একটু আগে আমরা দৈর্ঘের যোগফল নিয়ে যেসব কাজ করলাম সেগুলি কি কোনভাবে এখানে ব্যবহার করা যায় ? চেষ্টা করে দেখা যাক ।কিন্তু তাহলে তো সবার আগে একটা সমবাহু ত্রিভুজ লাগবে ,সবচেয়ে সুবিধা হয় তা কোন বাহুর উপর আঁকলে । চলো এঁকে দেখি কোন লাভ হয় কিনা ।

আগের সমস্যা থেকে পাই , $PB +PC \geq PD$ , তাহলে , $$PA+PB+PC \geq PA+PD \geq AD$$ শেষের অংশটা পেয়েছি ত্রিভুজ অসমতা থেকে । তাহলে কোন $P$ এর জন্যই $AP+BP+CP$ এর মান $AD$ এর চেয়ে বড় হতে পারবে না । $AD$ এর সমান হওয়ার জন্য প্রথমত $P$ কে $AD$ এর মধ্যে থাকতে হবে (ত্রিভুজ অসমতার জন্য )। আবার $P$ কে $\triangle BCD$ এর পরিবৃত্তে থাকতে কে (টলেমির অসমতার জন্য )। অর্থাৎ $\triangle BCD$ এর পরিবৃত্ত $AD$ কে যে বিন্দুতে ছেদ করবে সেটিই আমাদের নির্ণেয় বিন্দু ।একটু খেয়াল করলেই দেখতে পারবে এ বিন্দুর জন্য $\angle APB=\angle BPC =\angle CPA =120^\circ$ হবে ।

এ বিন্দুটিকে ত্রিভুজের "** ফার্মেট পয়েন্ট **" বলা হয় ।মজার ব্যাপার হল আমরা একই সাথে আরেকটি জিনিস প্রমান করে ফেলেছি ।ফার্মেট পয়েন্ট একটিই , এবং তা $AD$ এর উপর অবস্থিত ।তাহলে $AB$ ও $CA$ বাহুর উপরও একইভাবে সমবাহু ত্রিভুজ $\triangle ABF$ ও $\triangle CAE$ আঁকলে , ফার্মেট পয়েন্ট নিশ্চয়ই $BE$ এবং $CF$ রেখার মধ্যেও অবস্থিত । অর্থাৎ $AD$, $BE$ এবং $CF$ রেখা তিনটি সমবিন্দু ।

$(4)$ ধরি $,ABCD$ একটি সামান্তরিক। $G, E,$ ও $F$ বিন্দুগুলো যথাক্রমে $AB,AC$ ও $AD$ বাহুর উপর অবস্থিত। তাহলে $A,G,E,F$ বৃত্তস্থ হবে যদি এবং কেবল যদি $AG.AB +AF.AD =AE.AC$ হয়।

প্রমাণ:

ধরি, $AGEF$ চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ ।তাহলে $\angle EGF =\angle EAF=\angle CAD$ এবং $\angle EFG=\angle EAG=\angle CAB$ ।

আবার, $AB \| DC$ । ফলে, $\angle CAB=\angle ACD$ ।

অর্থাৎ, $\triangle EGF$ ও $\triangle DAC$ এ $\angle EGF=\angle CAD$, $\angle EFG=\angle ACD$। সুতরাং $\triangle EGF \sim \triangle DAC$

ফলে , $\dfrac{ AD}{ GE} =\dfrac{ AC }{GF} =\dfrac{ DC}{ EF} =a$

$\Rightarrow$ $AD=a.GE$ , $AC=a.GF$ , $DC=a.EF$

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ $AGEF$ এর জন্য টলেমির উপপাদ্য থেকে পাই ,
$GE.AF +EF.AG= AE.GF$

$\Rightarrow$ $a.GE.AF +a.EF.AG=a. AE.GF$

$\Rightarrow$ $AD.AF +DC.AG= AE.AC$।
কিন্তু, $DC=AB$
ফলে , $AG.AB +AF.AD =AE.AC$

বিপরীত অংশটা এটা ব্যবহার করে সহজেই প্রমাণ করা যায়। নিজে করার চেষ্টা কর ।

তোমরা যদি উপরের সম্পূর্ণ অংশ ভালভাবে পড়ে থাক, তবে অভিনন্দন, তোমরা টলেমির উপপাদ্য সবে বুঝতে শুরু করেছ, তবে গণিতে ‘চূড়ান্তভাবে বোঝা’ বলতে কিছু নেই, তোমরা যতই এ নিয়ে কাজ করবে ততই নতুন নতুন রূপে একে আবিষ্কার করতে শিখবে ।

Ptolemy's Inequality

Ptolemy's Inequality tells us relation between the sides of a quadrilateral and its diagonals. Equality case of this inequality gives a important criterion for a quadrilateral to be cyclic and is also a very important and useful property of cyclic quadrilaterals.

Ptolemy's Inequality says that $$\begin{align*}AB \cdot CD + AD \cdot BC &\ge AC \cdot BD\\\text{(equality occurs} &\Leftrightarrow \square ABCD \text{ is cyclic)}\end{align*}$$

The equality condition is also called as Ptolemy's Theorem: $$AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD \Leftrightarrow \square ABCD \, \text{is cyclic.}$$

I'll provide two proofs of Ptolemy's theorem. One uses similar triangles and is slightly artificial, and while other is more natural using inversion.

Proof Using Similar Triangles

We want to use triangle inequality somehow. We do it using a construction which is not a very natural.

We construct point $K$ such that $K$ and $A$ are on same side of $\overline{BC}$ and $\triangle BCK \sim \triangle BDA$

Thus we have $\frac{BC}{BD} = \frac{BK}{BA} \, \, \Rightarrow \frac{BC}{BK} = \frac{BD}{BA}$ Also, $\angle CBD = \angle KBA$ Thus, by $SAS$ test of similarity, $\triangle CBD \sim \triangle KBA$.

So we have $\angle CKB = \angle A$ and $\angle AKB = \angle C$.

$CK = \dfrac{BC \cdot AD}{BD}$ and $AK = \dfrac{AB \cdot CD}{BD}$

Triangle inequality gives $CK + AK \ge AC \Rightarrow \dfrac{BC \cdot AD}{BD} + \dfrac{AB \cdot CD}{BD} \ge AC \Rightarrow BC \cdot AD + AB \cdot CD \ge AC \cdot BD$

Also note that equality occurs only when $K$ lies on $\overline{AC}$. That is when $\angle CKB + \angle BKA = 180^{\circ} \Leftrightarrow \angle A + \angle C = 180^{\circ} \Leftrightarrow \square ABCD \text{is cyclic.}$

So we have the required result!!

Remark: Here we used $SAS$ test of similarity which is not used very commonly, and is bit tricky to use compared to the other tests for similarity of triangles.

Proof Using Inversion

We invert in one of the vertices say in $A$ with suitable radius say $r$. So that we get following figure after inversion.

Where $B \rightarrow X, \, C\rightarrow Y, \, D \rightarrow Z$ after inversion.

Hence once again by triangle inequality we have $XY + YZ \ge XZ$

$\Rightarrow \dfrac{BC \cdot r^2}{AB \cdot AC} + \dfrac{CD \cdot r^2}{AC \cdot AD} \ge \dfrac{BD \cdot r^2}{AB \cdot AD} \Rightarrow BC \cdot AD + CD \cdot AB \ge AC \cdot BD$

Equality when the three points are collinear, that is when $\square ABCD$ is cyclic.

There is a generalization of Ptolemy's theorem called Casey's Theorem.

Some Problems

Please add more problems with disguised Ptolemy applications here. Two above are very straightforward.