সিমসন রেখার বর্ধন

কোন ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ওপর একটা বিন্দু নেই। এই বিন্দু থেকে ত্রিভুজের তিন বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব অভিক্ষেপত্রয় সমরেখ হবে। আর এই রেখা কে সিমসন রেখা নামে অভিহিত করা হয়।

এখন, এই সংজ্ঞাটি দিয়ে সিমসন লাইনের ধারণা ঠিক বোঝা যায় না। তার চেয়ে বরং ...

এখানে, $AB,BC,CA$ রেখার ওপর $P$ বিন্দুর লম্ব অভিক্ষেপসমূহ হলো যথাক্রমে $N,M,L$। কিন্তু, $N,M,L$ কেন সমরেখ হবে?

সিমসন রেখার প্রমাণ: আমরা দেখাবো, $\angle LMP+\angle PMN=180^\circ$. লক্ষ করি, $CLPM$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। কেননা, $$\angle CLP+\angle CMP=90^\circ+90^\circ=180^\circ$$ আরো দুটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ আছে। তুমি কি তা দেখতে পাচ্ছ?

হ্যা, $MNBP$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। কারণ, $\angle BNP=90^\circ=\angle BMP$। এবং $ANPL$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। কারণ, $$\angle ANP+\angle ALP=90^\circ+90^\circ=180^\circ$$ আচ্ছা, তাহলে মূল প্রমাণে আসা যাক।

$\angle LMP=\angle LCP$, কেননা $CLMP$ বৃত্তস্থ। এখন, $\angle LCP=\angle ABP$.

অতএব, $\angle LMP=\angle LCP=\angle ABP$. সুতরাং, $$\begin{align}\angle LMP+\angle PMN&=\angle ABP+\angle PMN\\ &=\angle PBN+\angle PMN\\ &=180^\circ\end{align}$$ অর্থাৎ $\angle LMN$ একটি সরলকোণ। অন্যভাবে বললে, $LMN$ একটি সরলরেখা। অতএব আমাদের প্রমাণ সম্পূর্ণ।

সিমসন রেখার একটি কার্যকর অনুসিদ্ধান্ত হলো- $P$ বিন্দু হতে দুটি বাহুর ওপর পাদবিন্দুর সংযোগ রেখা তৃতীয় রেখার ওপর পাদবিন্দু দিয়ে যায়।

সবশেষে, গুড লাক এবং জিও অন।

Given a $\bigtriangleup ABC$ and a point $P$ on its circumcircle. The line segments from $P$ perpendicular to sides $AB$, $AC$, and $BC$ are named $D$, $E$, and $F$ respectively. These three points are collinear

And the line that passes through $D$, $E$, and $F$ is called the____of $\bigtriangleup ABC$

The converse is also true.

The Simson line can also be generalised to angles not equal to 90 degrees. The general statement is as follows:

Given a point $P$ on the circle $(ABC)$, points $Q, R, S$ lie on AB,BC and CA respectively such that $\angle PQB= \angle PRB= \angle PSC$ then Q, R, S are collinear. The converse is also true.