বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা

বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা

যদি দুটি ত্রিভুজ $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ এর $$\begin{align*} \overline{AB}&=\overline{DE} \\\overline{BC}&=\overline{EF} \\ \overline{CA} &= \overline{FD} \end{align*}$$

হয়, তাহলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে। অর্থাৎ, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

অথবা, কথায়, যদি একটি ত্রিভুজের তিন বাহু অপর একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।

এখন আসো আমরা এটা প্রমাণ করে ফেলি!!! তবে আগে নিজে চেষ্টা করো।

প্রমাণ :
মনে করি, $BC$ এবং $EF$ বাহু যথাক্রমে $\triangle ABC$ এবং $\triangle DEF$ এর বৃহত্তম বাহুদ্বয়।

এখন $\triangle ABC$ কে $\triangle DEF$ এর উপর এমনভাবে স্থাপন করি, যেন $B$ বিন্দু $E$ বিন্দুর উপর $BC$ বাহু $EF$ বাহু বরাবর এবং $EF$ রেখার যে পাশে $D$ বিন্দু আছে, $A$ বিন্দু এর বিপরীত পাশে পড়ে। মনে করি, $G$ বিন্দু $A$ বিন্দুর নতুন অবস্থান।

যেহেতু, $BC = EF$ , $C$ বিন্দু $F$ বিন্দুর উপর পড়বে। সুতরাং $\triangle GEF$ হবে $\triangle ABC$ এর নতুন অবস্থান। অর্থাৎ, $EG=BA$ , $FG=CA$ ও $\angle EGF=\angle BAC$।

$D , G$যোগ করি।

বাকিটা নিজে করো। পরে না পারলে দেখো।

এবার হল মূল প্রমাণ। তবে কঠিন কাজ আমাদের শেষ। বাকিটা অনেক সোজা।

(i) $\triangle EGD$ এ $EG=ED$ [ কারণ, $EG = BA = ED$]

অতএব, $\angle EDG=\angle EGD$

(ii) $\triangle FGD$ এ $FG=FD$

অতএব, $\angle FDG = \angle FGD$

(iii)সুতরাং , $\angle EDG+ \angle FDG = \angle EGD= \angle FGD$

বা, $\angle EDF = \angle EGF$

অর্থাৎ, $\angle BAC = \angle EDF$

অতএব, $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ এ $AB=DE$ , $AC=DF$ এবং অন্তর্ভুক্ত $\angle BAC=$ অন্তর্ভুক্ত $\angle EDF$ [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য]

অতএব, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

কী মজা আমরা প্রমাণ করে ফেলেছি!!! এখন আসো আমরা সবাই নাচি!!! এক দুই সাড়ে-তিন, রাজা নাচে ধিন-ধিন!!!

SSS congruence postulate (Note the postulate) states that if two triangles $ABC$ and $DEF$ have $$\begin{align*} \overline{AB}&=\overline{DE} \\\overline{BC}&=\overline{EF} \\ \overline{CA} &= \overline{FD} \end{align*}$$ then the two triangles are congruent. That is, if two triangles have congruent corresponding sides, then the two triangles are congruent. The converse is also true--If two triangles have corresponding sides congruent, then the two triangles are congruent.

Because this is a postulate, there is no proof for this and is thus treated as a given in many geometric proofs.

Here is a great triangle drawing tool that can help you out in this topic.