র‍্যাডিকাল এক্সিস

Power of point theorem এ আমরা একটি বৃত্ত নিয়ে কাজ করেছি। এখন আমরা দুটো বৃত্তের জন্য কোন কোন বিন্দুর power(বৃত্ত দুটির সাপেক্ষে) সমান তা বের করব। আর ঐ বিন্দুগুলোর সঞ্চারপথই(locus) হল ঐ দুটো বৃত্তের radical axis.(বৃত্ত দুটির কেন্দ্র আলাদা হতে হবে)

এখন মজার ব্যাপার হল radical axis সবসময় সরলরেখা।(এটি আমরা একটু পরে প্রমাণ করব)

এটি দেখে ভয় পাওয়ার কিছু নেই। এখানে মজার ব্যাপার হল M, N, O, P একই সরলরেখায় অবস্থিত যেটা হল radical axis.

[বি:দ্র: একটি বৃত্ত আরেকটির ভিতর থাকলে সাধারণ স্পর্শক থাকবে না]

এখন আমরা Radical axis যে সরলরেখা তা প্রমাণ করব।

ধরি, A, C কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1$ ও $r_2$। তাহলে,

$AE^2-r_1^2=CE^2-r_2^2$ $AE^2-CE^2=r_1^2-r_2^2..........(i)$

আবার পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,

$AE^2-AF^2=EF^2=CE^2-CF^2$ $AE^2-CE^2=AF^2-CF^2..........(ii)$

(i) ও (ii) হতে পাই,

$AF^2-CF^2=r_1^2-r_2^2$ $(AF+CF)(AF-CF)=r_1^2-r_2^2$ $AC(AF-CF)=r_1^2-r_2^2$

এখানে, আমরা AC ও $r_1^2-r_2^2$ ধ্রুবক(constant)। তাহলে (AF-CF) constant. তাই F বিন্দুটি unique অর্থাৎ এটি AC এর উপর নির্দিষ্ট এবং এটি E এর উপর নির্ভর করে না বরং E, F এর উপর নির্ভর করে(কারণ EF, AC এর উপর লম্ব)। অর্থাৎ radical axis এর প্রত্যেক বিন্দু F বিন্দুতে AC এর উপর অঙ্কিত লম্বের (অর্থাৎ EF) উপর অবস্থিত।

EF এর উপর কোনো বিন্দু P হলে,

$AP^2-CP^2=AF^2-CF^2=r_1^2-r_2^2$

অর্থাৎ EF এর উপর সকল বিন্দু radical axis এর শর্ত মেনে চলে। তাই F বৃত্ত দুটির radical axis.

অতএব যেকোন দুটি বৃত্তের radical axis সরলরেখা এবং বৃত্ত দুটির কেন্দ্রগামৗ রেখার সাথে লম্ব।

এবার নিচের চিত্রগুলো দেখ এবং অনুসিদ্ধান্তগুলো নিজে প্রমাণ করার চেষ্টা কর।

এবার আমরা একটা মজার সূত্র শিখব যার নাম রেডিকাল এক্সিস থিওরেম।

** রেডিকাল এক্সিস থিওরেম : ** তিনটি বৃত্ত। তাহলে $o_1$ ও $o_2$ এর রেডিকাল এক্সিস, $o_2$ ও $o_3$ এর রেডিকাল এক্সিস এবং $o_3$ ও $o_1$ এর রেডিকাল এক্সিস একই বা সমবিন্দুগামী অথবা সমান্তরাল হবে।

[রেডিকাল এক্সিস গুলো একই হলে বৃত্ত তিনটিকে coaxial circle বলে। এক্ষেত্রে কেন্দ্র তিনটি একই সরলরেখার উপর অবস্থিত হয়। রেডিকাল এক্সিস তিনটি সমান্তরাল হলেও এই ঘটনা ঘটে (কেন?)]

প্রমাণ : রেডিকাল এক্সিস তিনটির মধ্যে যেকোনো দুটির ছেদবিন্দুর power বৃত্ত 3টির জন্যই সমান। তাই তৃতীয় রেডিকাল এক্সিসটিও ঐ বিন্দু দিয়ে যাবে।

এবার আমরা এতক্ষন যা শিখলাম তার একটি সারাংশ করি।

(1) দুটি বৃত্তের radical axis এর উপর সকল বিন্দুর power of point সমান। তাই ঐ বিন্দুগুলো থেকে বৃত্ত দুটির উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য সমান।

(2) radical axis সরলরেখা এবং কেন্দ্রগামৗ রেখার সাথে লম্ব।

(3) radical axis সাধারণ স্পর্শকের মধ্যবিন্দু দিয়ে যায়।

(4) দুটি বৃত্তের সাধারণ স্পর্শকের মধ্যবিন্দুগুলো সমরেখ।

(5) দুটি বৃত্ত A ও B বিন্দুতে ছেদ করলে AB radical axis.

(6) দুটি বৃত্ত p বিন্দুতে পরস্পরকে স্পর্শ করলে p বিন্দুতে তাদের সাধারণ স্পর্শক তাদের radical axis.

(7) তিনটি বৃত্তের ক্ষেত্রে রেডিকাল এক্সিসগুলো একই বা সমবিন্দুগামী অথবা সমান্তরাল।

Radical Axis

Once we have the power of a point with respect to a circle, the natural question to ask is what happens if we have two circles? What is the relation of power of a point with respect to one circle and power of the same point with respect to another circle?

Particularly, we are interested in finding out when the two powers are equal, or the locus of $P$ so that power of $P$ with respect to two circles $S_1$ and $S_2$ is equal. This also means that the tangents to both circles from point $P$ will have equal length.

Once you construct the above locus for same tangent length and for the circles $S_1$ and $S_2$, you can take their intersection and get a few points which have equal power with respect to both the circles!

Lets try to find the locus for two non-concentric circles.

Now that we have a claim, lets try to prove it!

Here, $\overline{PX} \perp \overline{O_1O_2}$

So we have a strategy. And we also have the power of point expression: $O_1P^2 - r_1^2 = O_2P^2 - r_2^2$.

Pythagoras theorem gives us that $O_1P^2 = O_1X^2 + PX^2$ and $O_2P^2 = O_2X^2 + PX^2$ . Substituting back in the equation, we get that $O_1X^2 - O_2X^2 = r_1^2 - r_2^2$

As we were dealing with squares till now, we can take all distances to be directed and show that such point $X$ is unique on line $\overline{O_1O_2}$.

And hence we have that $X$ is independent of $P$. Which tells us that $P$ always lies on a line perpendicular to $\overline{O_1O_2}$ passing through $X$.

Hence, the locus of $P$ must be a line.

We can retrace our steps in above proof to complete proof of part 2. The Pythagoras theorem finishes the problem.

We define this particular line to be the Radical Axis of two circles. Note that this definition is only valid when two circles and non-concentric.

Coordinate Geometry Proof

This proof uses coordinate geometry. It is a very elegant proof

Now we just have to equate two such equations!!

Every point $P(x_0 , y_0)$ having equal powers with respect to both the circles satisfies $s_1(x_0, y_0) - s_2(x_0 , y_0)$ and every point satisfying this equation will have equal power with respect to both the circles! Hence, we directly get the locus given by $s_1(x,y) - s_2(x,y) = 0$ which is generally of the form $ax + by + c =0$, which represents a line. The special case when both $a = 0$ and $b = 0$ represent concentric circles.

Remark : Here both the equations must be of type $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$

Hence we are done! You can also do a simple computation to prove that this line is perpendicular to line joining the centers.

Properties of Radical Axis

As we know, Radical Axis is perpendicular to line joining the centers

Expressing power of point for tangent case gives us that tangents from any point on radical axis to both the circles have equal lengths.

Thus, Radical Axis is also the locus of center of a circle which is orthogonal to both the given circles

Degenerate Case

Radical axis of two point circles is the perpendicular bisector. In fact, we can take two congruent circles and their radical axis will be the perpendicular bisector of the centers.