ট্রান্সফর্মেশন কী ?

ট্রান্সফর্মেশন হল কোনো আকৃতিকে এমন ভাবে পরিবর্তণ করা যাতে তার পরিবর্তিত আকৃতির সাথে প্রকৃত আকৃতির সাথে কিছু বৈশিষ্টের মিল থাকে।

জ্যামিতির সকল ট্রান্সফর্মেশন কে কেবল ৪ টি ভাগে ভাগ করা যায়ঃ ট্রান্সলেশন, রোটেশন, রিফ্লেকশন এবং ডায়ালেশন বা হোমোথেটি। এই চারটি মৌলিক ট্রান্সফর্মেশন দিয়েই দুনিয়ার যাবতীয় সকল জ্যামিতিক পরিবর্তণকে সঙ্গায়িত করা যায়।

ট্রান্সলেশন

ট্রান্সলেশন এমন এক প্রকার ট্রান্সফর্মেশন যা কোনো আকৃতিকে ঠেলে সরিয়ে নতুন স্থানে নিয়ে যায়। এ পরিবর্তণের সময় ওই আকৃতির প্রতিটি বিন্দু সমান দূরত্ব অতিক্রম করে। যেমন নিচের চিত্রে $AB$ রেখাংশকে ট্রান্সলেট করে $A'B'$ রেখাংশ তে নিয়ে যাওয়া হয়েছে

রোটেশন

কোনো আকৃতিকে কোনো বিন্দু এর সাপেক্ষে বৃত্তাকার পথে ঘুরানোকে রোটেশন বলে। যেমন নিচের চিত্রে $\triangle ABC$ কে $X$ বিন্দুর সাপেক্ষে রোটেট করে $\triangle A'B'C'$ এ নিয়ে যাওয়া হয়েছে।

রিফ্লেকশন

রিফ্লেকশন ট্রান্সফর্মেশন কোনো বিন্দু, রেখা বা বৃত্তের সাপেক্ষে হয়ে থাকে।

    **রেখা** :

যে ধরণের রিফ্লেকশন এর সাথে আমরা সবচেয়ে বেশি পরিচিত, তা হল রেখার সাপেক্ষে। তার কারণ আমরা সবাই প্রতিদিন কমবেশি আয়নায় নিজেকে দেখি। আয়নায় আমরা যা প্রতিফলন দেখি সেই একি প্রতিফলন বা রেফ্লেকশন এর কথা আমরা বলছি। তার মানে রেখার সাপেক্ষে রিফ্লেকশন কোনো আকৃতির অবিকল একটি প্রতিরূপ তৈরি করে শুধু প্রতিরূপ রেখার যে পাশে মূল আকৃতি থাকে তার বিপরীত পাশে থাকে। নিচের চিত্রে এর উদাহরণ দেয়া হলঃ

বিন্দু : বিন্দুর সাপেক্ষে রিফ্লেকশন ও রেখার সাপেক্ষে রিফ্লেকশন এর মত, কেবল এক্ষেত্রে প্রতিবিম্বের প্রতিটি বিন্দুর সাপেক্ষ বিন্দুর থেকে দুরত্ব প্রকৃত আকৃতির অনুরূপ বিন্দুর সাপেক্ষ বিন্দু থেকে দুরত্ব সমান। যেমন নিচের চিত্রে, $ABCDEF$ কে $P$ বিন্দুর সাপেক্ষে রিফ্লেক্ট করে $A'B'C'D'E'F'$ তে নিয়ে যাওয়া হয়েছে।

বৃত্ত : নিচের চিত্র দেখ, এখানে $A$ কেন্দ্র ও $AB$ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট্য বৃত্তের সাপেক্ষে $C$ ও $D$ বিন্দুর রিফ্লেকশন হল $C'$ ও $D'$।

$AB$; $AC, AC'$, এবং $AD, AD'$ এর মধ্যে কোনো সম্পর্ক দেখতে পাচ্ছ কী?

ঠিক, $AB^2 = AC*AC' = AD*AD'$. তাহলে হয়ত অনুমান করতে পারছ, বৃত্তের সাপেক্ষে রিফ্লেকশন কি। বৃত্তের কেন্দ্র $O$, ব্যাসার্ধ $r$ হলে এই বৃত্তের সাপেক্ষে $X$ বিন্দুর রিফ্লেকশন $X'$ হবে যদি $OX*OX' = r^2$ হয়। এই ধরণের রিফ্লেকশনের অসাধারণ কিছু বৈশিষ্টের জন্য একে আদর করে বিশেষ নামে ডাকা হয়: Inversion.

এ ব্যাপারে আরো পড়তে পারবে এখান থেকে: 1 2

হোমোথেটি বা ডায়ালেশন

কোনো আকৃতিকে প্রথমে ট্রান্সলেট করে (অথবা না করে) তারপর বিবর্ধিত করাকে বলে হোমোথেটি। নিচের চিত্র দেখলে বিষয়টি বুঝতে পারবেঃ

এখানে $\triangle ABC$ কে প্রথমে ট্রান্সলেট করে $\triangle DFG$ নেয়া হয়েছে, তারপর $D$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $\triangle DFG$ কে বিবর্ধিত করে $\triangle DEH$ তে নিয়ে যাওয়া হয়েছ। এখানে $\triangle ABC$ থেকে $\triangle DFG$, $\triangle DFG$ থেকে $\triangle DEH$, $\triangle ABC$ থেকে $\triangle DEH$, প্রতিটি হোমোথেটি ট্রান্সফর্মেশন এর উদাহরণ।

A transformation is a movement of some sort. Four basic transformations are:

a) Translation

A translation is the direct movement of a selected area, or a slide.

b) Rotation

Rotation is exactly what its name says, a rotation, or a turn. However, you can rotate across any point you choose.

c) Reflection

A reflection maps the picture on the left of the axis to the right. The axis can also be the axis of symmetry in a symmetrical shape.

d) Dilation/Homothety

A dilation, also known as homothety, is a re-sizing of a picture by a scale factor x. 2 scale factor would make the picture twice as big, 1/2 as a scale factor would make the picture half sized.