Pythagorean Triples

There is a precise algorithm that has been defined to generate Pythagorean triples. This is called Euclid's formula and consists of three equations, $a=m^2 - n^2$, $b=2mn$, and $c=m^2 + n^2$. Any values can be plugged in for m and n to get a Pythagorean triple. For example: Plugging in 5 for m and 2 for n gives us the triple (20, 21, 29).

A triple where all three numbers are relatively prime is called a primitive Pythagorean triple. To generate a primitive Pythagorean triple, m and n must be relatively prime, and their difference must be odd.

This will be a bit more tricky...

To solve this question, you must set one of the equations to 12. Since the question asks for 12 as a leg length, you can pick either $m^2-n^2$ or $2mn$. Since 2mn is simpler, it would probably be better to choose this. If 2mn is equal to 12, m and n can be 3 and 2 or 6 and 1. This gives you the triples (5,12,13) and (12,35,37). Now you must remember that any triple with a 6, 3, 2, or 1 can be multiplied to give you a triple with a 12 in it. Setting these numbers as 2mn will give you the triple (3,4,5)/(6,8,10)/(12,16,20) as well.

The Converse of the Pythagorean Theorem states that if the square of one side of a triangle equals he sum of the squares of the other two sides, then the triangle is a right triangle.

Proof

Construct another right triangle $DEF$ with a right angle at $DEF$ and $EF=BC$ and $FD=CA$. By the Pythagorean theorem on $DEF$, we get $$\begin{align*} DE^2 &= FD^2+FE^2 \\ DE^2 &= CA^2+BC^2 \end{align*}$$ But using the Pythagorean theorem on $ABC$ yields $$AB^2 = CA^2+BC^2$$ So $AB=DE$. So now we have $$\begin{align*} DE &= AB \\ DF &= CA \\ BC &= EF \end{align*}$$ By SSS congruency, $ABC \equiv DEF$ and thus $ABC$ is a right triangle, so we are done.

আমরা জানি যে কোন ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ হলে এর সন্নিহিত দুটি বাহুর বর্গের যোগফল অতিভুজের বর্গের সমান হয়। তবে এর বিপরীত তাও কি সঠিক?

হ্যাঁ, এর বিপরীত তা ঠিক। আসো এখন এটা প্রমাণ করে ফেলি। তবে তার আগে নিজে চেষ্টা করো। না পারলে continue প্রেস করো।

আরো ভালো করে চেষ্টা করো।

এখন মনে করি $\triangle ABC$ এর $AB^2=AC^2+BC^2$। প্রমাণ করতে হবে যে, $\angle C =$ এক সমকোণ।

এখানে সবাই বুঝেছ যে, যা দেয়া রয়েছে তা দিয়ে এটা প্রমাণ করা যাবে না। তাইলে এখন আমাদের কিছু অঙ্কনের প্রয়োজন। কী?(ভেবে দেখো...সর্বসমতার সাথে সম্পর্কিত)

আমরা এমন একটা ত্রিভুজ $\triangle DEF$ অঙ্কন করি যেখানে $\angle F$ এক সমকোণ ,$EF=BC$ এবং $DF=AC$।

এখন, $$DE^2=EF^2+DF^2$$ $$=BC^2+AC^2$$ $$=AB^2$$ so, $DE=AB$

এখন, সবাই বুঝেস যে কি করতে হবে, আমরা প্রমাণ করেছি যে $\triangle ABC$ ও $\triangle DEF$ এ $BC=EF, AC=DF$ এবং $AB=DE$. অর্থাৎ, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

তার মানে,

$$\angle C = \angle F$$

আর $\angle F$ এক সমকোণ, যার মানে $\angle C$ এক সমকোণ।

কী মজা আমরা প্রমাণ করে ফেলেছি!!! এখন খেলতে যাও(আর আমিও যাই :D)