কোণের সমদ্বিখন্ডক ও চাপের মধ্যবিন্দুর বর্ধন

মনে​ ​করি​ ​আমাদের​ ​কাছে​ ​$\triangle​ ​ABC$​ ​এবং​ ​এর​ ​পরিকেন্দ্র​ ​$Γ$​ ​আছে।​ ​চল​ ​এর​ ​একটি​ ​কোণ,​ ​ধরি $\angle​ ​A$​ ​কে​ ​দ্বিখন্ডিত​ ​করি।​ ​দ্বিখন্ডক​ ​টি​ ​পরিকেন্দ্র​ ​$Γ$​ ​কে​ ​$M$​ ​বিন্দুতে​ ​ছেদ​ ​করলে,​ ​নিচের​ ​চিত্রতে $M$​ ​বিন্দুকে​ ​বৃত্তটির​ ​কোনো​ ​অংশের​ ​মধ্যবিন্দু​ ​বলে​ ​মনে​ ​হচ্ছে​ ​কী?​ ​হলে​ ​কোন​ ​অংশের?

এবার​ ​দেখা​ ​যাক​ ​আমাদের​ ​অনুমান​ ​সঠিক​ ​কিনা। চল​ ​$BC$​ ​বাহুর​ ​লম্বদ্বিখন্ডক​ ​আঁকি।​ ​মনে​ ​কী​ ​হচ্ছে​ ​না,​ ​দ্বিখন্ডকটি​ ​$M$​ ​বিন্দুর​ ​উপর​ ​দিয়ে​ ​গিয়েছে?​ ​তবুও আমরা​ ​প্রমাণ​ ​চাই!
এখন, $B,​ ​M$​ ​ও​ ​$C,​ ​M$​ ​যোগ​ ​করি।​ ​$\triangle​ ​BMC$​ ​সম্পর্কে​ ​কিছু​ ​অনুমান​ ​করতে​ ​পারছ​ ​কী?

ঠিক,​ ​$\triangle​ ​BMC$​ ​সমদ্বিবাহু​ ​ত্রিভুজ।​ ​আমরা​ ​তো​ ​জানি​ ​যে​ ​বৃত্তের​ ​কোনো​ ​চাপে​ ​উতপন্ন​ ​সকল​ ​কোণ সমান।​ ​এজন্য,​ ​$$\angle​ ​MAC​ ​=​ ​\angle​ ​MBC$$​ ​$$\angle​ ​BAM​ ​=​ ​\angle​ ​BCM$$ যার​ ​অর্থ,​ ​$\triangle​ ​ABC$​ ​এ,​ ​$$\angle​ ​MBC​ ​=​ ​\angle​ ​BCM$$​ ​(বল​ ​ত​ ​কেন?)

সুতরাং,​ ​$BC$​ ​বাহুর​ ​​লম্বদ্বিখন্ডক​ ​$M$​ ​বিন্দু​ ​দিয়ে​ ​যায়,​ ​এবং​ ​$M$​ ​বিন্দু​ ​$Γ$​ ​বৃত্তের​ ​$BMC$​ ​চাপের মধ্যবিন্দু।

এবার​ ​তোমাদের​ ​কাজ​ ​হচ্ছে​ ​$\triangle​ ​ABC$​ ​এর​ ​$\angle​ ​A$​ ​এর​ ​বহিদ্বিখন্ডক​ ​এঁকে,​ ​সেটি​ ​$Γ$​ ​বৃত্তকে যে​ ​বিন্দুতে​ ​ছেদ​ ​করে,​ ​মনে​ ​কর​ ​$M’$,​ ​তার​ ​অবস্থান​ ​নির্ণয়​ ​করা।

Suppose we have a triangle $ABC$ and its circumcircle $\Gamma$. Let's construct the angle bisector of say, angle $A$.

Right, $M$ is the midpoint of arc $BC$. This is because $\angle BAM=\angle MAC$. Then, it follows that the arc lengths of $BM$ and $MC$ are equal. Thus, $M$ is the midpoint.

There are other interesting properties of $M$ too!

We also know that $M$ is on the perpendicular bisector of $BC$. This is because $M$ is equidistant from $B$ and $C$. This gives us an interesting property! The angle bisector of $A$ and perpendicular bisector of $BC$ intersect on the circumcircle! This is a very useful point in olympiad geometry.

Another useful fact is that if $I$ and $E$ are the incenter and $A$-excenter respectively, then $BICE$ is a cyclic quadrilateral, with $M$ as its center! Try to prove this one yourself.