কার্তেসীয় স্থানাংকে দূরত্বের সূত্র

হ্যালো! :D

আচ্ছা, আমরা দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব কীভাবে পরিমাপ করি? ইয়াহ, স্কেল দিয়ে মেপে মেপে। কিন্তু ওই দূরত্ব যদি অনেএএএএএএএক বড় হয় এবং কাছে থাকা স্কেল সেই দূরত্বের তুলনায় অনেএএএএএএএক ছোটো হয়, তখন??? :3 তখন আমরা খুব ভাব দেখায়ে বিন্দু গুলোকে বলব যে, “তোমাদেরকে গুণার টাইম নাই আমার -_-”। কিন্তু আমাদেরকে যদি ঐ দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া থাকে তাহলে কিন্তু আমরা এবারে ভালোভাবেই দূরত্ব বের করতে পারব, সেটা যত বড়ই হোক না কেন।

আজকের এই আর্টিকেলে আমরা কার্তেসীয় তলে অবস্থিত দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব গুরু পীথাগোরাসের দেখিয়ে যাওয়া একটি সুন্দর সূত্রের মাধ্যমে নির্ণয় করা শিখব এবং এই সূত্র ব্যবহার করে সুন্দর সুন্দর কিছু সমস্যা সমাধান করব।

চল শুরু করি।

তো তোমাদের কাছে দুইটি বিন্দু $A(1,2)$ ও $B(1,6)$ দেওয়া আছে। তোমাদেরকে বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে সুবিধার জন্য আমরা বিন্দু দুইটিকে সমতলে বসিয়ে দেখতে পারি (চিত্র – $1$)।

এখন বল তো, $A$ ও $B$ এর মাঝে দুরত্ব কত? হ্যাঁ, $4$! দুইটি বিন্দুরই ভূজ বা $x$-অক্ষের অবস্থান একই হউয়ার কারনে $B$ বিন্দুটি $A$ থেকে লম্বালম্বিভাবে $6 – 2 = 4$ একক উপরে।

আচ্ছা এবারের উদাহরণে ভিন্ন কী ছিল? হ্যাঁ, এবারে বিন্দু দুইটির কোটি বা $y$-অক্ষের অবস্থান একই ছিল এবং তাই $D$ বিন্দুটি $C$ হতে $5$ একক সোজা ডানে ছিল (চিত্র – $2$)।

আচ্ছা এতক্ষণ আমরা মোটামোটি সহজ দুইটি উদাহরণ দেখেছি। এবারে একটু ভিন্ন ধারায় যাব। ভিন্ন ধারা বলতে? মানে হলো, এতক্ষণ তো আমরা এমন দুইটি বিন্দুর দুরত্ব নির্ণয় করছিলাম যাদের যেকোনো একটি অক্ষে অবস্থান একই ছিল। এখন আমরা এমন দুইটি বিন্দুর দুরত্ব নির্ণয় করার চেষ্টা করব যাদের ভূজ বা কোটি কোনটিই একই নয়।

তো দুইটি বিন্দু $P(1,-1)$ ও $Q(3,5)$ দেওয়া আছে। এদের মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে রেখাটি এঁকে দেখা যাক (চিত্র – $3$)।

তোমরা একটু চিন্তা করে দেখ যে, আমরা কীভাবে এই $P,Q$ বিন্দু দুইটির দুরত্ব তথা $PQ$ রেখাটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারি?

আচ্ছা, এতক্ষণ আমরা দূরত্ব নির্ণয়ের ক্ষেত্রে কীসের সাহায্য নিচ্ছিলাম? হ্যাঁ, ছক কাগজের বর্গগুলোর। অর্থাৎ একটি বিন্দু অপর বিন্দু হতে কয়টি বর্গ দূরে অবস্থান করছে তার সংখ্যা গুণে দূরত্ব নির্ণয় করছিলাম। তো এক্ষেত্রে এই পদ্ধতিটিকে কীভাবে কাজে লাগানো যেতে পারে? অকে, এতো কাহিনী করে কোনো লাভ নাই, আর্টিকেলের শিরোনামেই তো পিথাগোরাসের কথা লেখা আছে। এতে সবাই-ই তো বুঝে গেলা যে পিথাগোরাস তথা সমকোণী ত্রিভুজের ধারণা ব্যবহার করতে হবে। -_-

কিন্তু কিন্তু কিন্তু...এখানে তো সমকোণী ত্রিভুজ দূরে থাক, কোনো ত্রিভুজই খুঁজে পাচ্ছি না। :3 আচ্ছা আমরা তো অনেক স্মার্ট, তাই না? 😉 তাই আমরা করব কি, ত্রিভুজটাকে খুঁজে বের করার চেষ্টা করব। যারা আমার থেকে বেশি স্মার্ট তারা নিশ্চয় এতক্ষণে ত্রিভুজটাকে পেয়ে যাওয়ার কথা। চল, ত্রিভুজটা এঁকে ফেলি (চিত্র - $4$)।

অর্থাৎ এক্ষেত্রে মেইন আইডিয়াটি হচ্ছে যে, আমাদেরকে যে রেখাটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে সে রেখাটিকে অতিভূজ ধরে একটি সমকোণী ত্রিভূজ কল্পনা করতে হবে। চিত্রে দেখ, $PQ$ রেখাকে অতিভূজ ধরে আমরা $∆PQM$ সমকোণী ত্রিভুজটি পেলাম। এখানে $M$ বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হল $(3,-1)$। আচ্ছা তখন তো খুব চালাকি করে পিথাগোরাসের নাম দেখে বলে দিয়েছিলাম যে সমকোণী ত্রিভুজ ব্যবহার করতে হবে। কিন্তু তোমরা কি আসলেই বুঝেছ যে কেন আমরা সমকোণী ত্রিভুজের ধারণা ব্যবহার করছি? এর কারন হল, একটু আগেই যা বলেছিলাম “বর্গ সংখ্যা গুণা”। এক্ষেত্রে হচ্ছে কি, বর্গ সংখ্যা গুণে আমরা খুব সহজেই ভূমি এবং লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারছি। ওয়েট...আমরা ভূমি এবং লম্বের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারছি। মাথায় নিশ্চয় কোনো একটা সূত্র চলে এসেছে? হ্যাঁ, গুরু পিথাগোরাসের সূত্র! ! ! <3 তাহলে আমরা এ থেকে কীসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে পারব? অতিভুজের। কিন্তু এটাই তো আমাদের সেই প্রানপ্রিয় রেখাটি, যার দৈর্ঘ্য আমরা নির্ণয় করতে চাচ্ছিলাম! :D

তাহলে চল এভাবে আমাদের $PQ$ রেখাটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে ফেলি। এক্ষেত্রে আমাদের -

ভূমি, $PM = 3 – 1 = 2$

এবং লম্ব, $QM = {5 – (-1)} = 6$।

সুতরাং, পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার করে পাই,

$(PQ)^2 = (PM)^2 + (QM)^2$

বা, $(PQ)^2 = 2^2 + 6^2$

বা, $PQ = \sqrt40$

অর্থাৎ আমাদের প্রাণপ্রিয় রেখা $PQ$ এর দৈর্ঘ্য বা ওই দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব $\sqrt40$.

আচ্ছা, চল এই পদ্ধতিটিকে সূত্রের মায়াজালে, স্যরি, বেড়াজালে ফেলা যাক। :3

অর্থাৎ আমাদেরকে যদি দুইটি বিন্দু $A(x_1,y_1)$ ও $B(x_2,y_2)$ দেওয়া থাকে, তাহলে $AB$ এর দূরত্ব কী হবে?

আগের মতো $AB$ কে অতিভুজ ধরে সমকোণী ত্রিভুজ $∆ABC$ কল্পনা করি (চিত্র - $5$)। চিত্রে $A$ ও $B$ হতে $x$-অক্ষের উপর যথাক্রমে $AD$ ও $BE$ লম্ব আঁকা হয়েছে। সুতরাং, $AC = DE$ এবং $CE = AD$। এখন, সমকোণী ত্রিভুজ $∆ABC$-এ,

ভূমি, $AC = DE = OA – OD = (x_2 - x_1)$

এবং লম্ব, $BC = BE – CE = BE – AD = (y_2 - y_1)$।

সুতরাং পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,

$(AB)^2 = (AC)^2 + (BC)^2$

$(AB)^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

$AB = \pm \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

দুরত্ব যেহেতু অঋণাত্মক, সুতরাং $AB$ রেখার দূরত্ব, $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$। এটিই হচ্ছে আমাদের সেই আরাধ্য সূত্র, যেটার জন্য আমরা এতো বকবক করেছি, এতো কাল অপেক্ষা করেছি, যেটার জন্যই মূলত এই আর্টিকেলটা লেখা। <3

তাহলে চল আমাদের সূত্র ব্যাবহার করে চিত্র – $4$ এর রেখাটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

$P$ ও $Q$ এর স্থানাঙ্ক ছিল যথাক্রমে $(1,-1)$ ও $(3,5)$। সুতরাং, $PQ = \sqrt{(3 - 1)^2 + {[5 - (-1)]}^2} = \sqrt{40}$. ∎

আচ্ছা, আমরা তো সূত্র বের করেছি, কিন্তু আরো একটি জিনিসের কথা বলেছিলাম, তা হলো আমরা আমাদের সূত্রটিকে ব্যবিহার করে সুন্দর সুন্দর কিছু সমস্যা সমাধান করব।

প্রথমে আমরা একটা গুরুত্বপূর্ণ জিনিস দেখব। মূলবিন্দু হতে একটি বিন্দু $P(x,y)$ এর দূরত্ব কত?

আচ্ছা মূলবিন্দু এর স্থানাঙ্ক কত? হুম, $(0,0)$। তাহলে তো ব্যাপারটা কিছুই না। শুধু আমাদের সূত্রের বেড়াজালে ফেলে দিব। তাহলে দূরত্ব হবে $= \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$.

এবারে একটা সমস্যা দিচ্ছি, আশা করি সমাধান করতে তেমন কোনো সমস্যা হবে না।

দুইটি বিন্দু $(-5,5)$ ও $(5,k)$ যদি মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী হয়, তবে $k$ এর মান নির্ণয় কর।

আমাদের সবার আগে কী করা উচিত? আমাদের উচিত আমাদেরকে প্রশ্নে যা দেওয়া আছে তা থেকে আরো ভাল কিছু তথ্য বের করা যা আমাদের সমস্যা সমাধানে কাজে আসবে। তো এক্ষেত্রে দুইটি জিনিস দেওয়া আছে। প্রথমটি হল মূলবিন্দু হতে $(-5,5)$ ও $(5,k)$ এর দূরত্ব। এগুলা নির্ণয় করা তো কোনো ব্যাপারই না। একটু আগেই মূলবিন্দু হতে কোনো বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়ের পদ্ধতি জানলাম। ঐ অনুযায়ী মূলবিন্দু হতে $(-5,5)$ এর দূরত্ব $= \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{50}$ এবং $(5,k)$ এর দূরত্ব $= \sqrt{5^2 + k^2}$। আবার বলা হয়েছে এই দূরত্ব দুইটি সমান হবে। তাহলে আমরা লিখতে পারি, $\sqrt{5^2 + k^2} = \sqrt{50}$

অর্থাৎ $k$ এর মান $-5,5$. ∎

এবারে আরেকটি সুন্দর সমস্যা। তোমাদের কাছে $4$টি বিন্দু $(0,-1),(-2,3),(4,6)$ এবং $(6,2)$ দেওয়া আছে। তোমাদেরকে দেখাতে হবে যে এই বিন্দু চারটি একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি শীর্ষবিন্দু।

ওয়াও! প্রশ্ন শুনেই মজা লাগছে না? :D চল সমাধান করি।

বিন্দু চারটি যোগ করলে তো আমরা একটি চতুর্ভুজ পাব। এখন তোমরা বল যে, একটি চতুর্ভুজ কখন আয়তক্ষেত্র হবে? যখন চতুর্ভুজটির বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ হবে।

তো প্রমাণের সুবিধার্থে আমরা প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে এভাবে নামকরণ করি – $A(0,-1),B(-2,3),C(4,6)$ এবং $D(6,2)$. চিত্রটি আঁকি (চিত্র - $6$)।

তো প্রথমে $4$টি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।

$AB = \sqrt{20}$

$CD = \sqrt{20}$

$∴ AB = CD$

আবার,

$AD = \sqrt{45}$

$BC = \sqrt{45}$

$∴AD = CD$

সুতরাং বিপরীত বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য সমান। অর্থাৎ বলা যায় যে, $ABCD$ একটি সামান্তরিক বা আয়তক্ষেত্র। এটিকে আমরা আয়তক্ষেত্র বলতে পারছি না কেন? কারন, আমরা এখনো নিশ্চিত নই যে এটির প্রতিটি কোণ সমকোণ কিনা। তাই আমাদেরকে এখন এটা দেখানোর চেষ্টা করতে হবে। এজন্য আমরা একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব প্রথমে। তাছাড়া আমরা বাহু দুইটির দৈর্ঘ্যও জানি। তাই যদি দেখি যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করছে, তাহলে আমরা বলতে পারব যে অন্তর্ভুক্ত কোণটি সমকোণ হবে এবং এ কারণে চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

এখন দেখি, কর্ণ $AC = \sqrt{65} = \sqrt{45 + 20} = \sqrt{(\sqrt{45})^2 + (\sqrt{20})^2} = \sqrt{AD^2 + CD^2}$

অর্থাৎ এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে সমর্থন করছে এবং এতে প্রমাণিত হল যে $ABCD$ একটি আয়তক্ষেত্র। ইয়ে! :D

তোমরা যখন ঢাল সম্পর্কে পড়বে তখন অবশ্যয় ঢাল ব্যবিহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করবে। 😊 ∎

আচ্ছা, এবারে আমার এই আরটিকেলের শেষ সমস্যা।

একটি বিন্দু $P(x,y)$ থেকে $y$-অক্ষের দুরত্ব এবং $Q(3,2)$ বিন্দুর দূরত্ব সমান। প্রমাণ কর যে, $y^2 - 4y - 6x + 13 = 0$.

এই সমস্যাটার সাথে আগের ওই মূলবিন্দু থেকে সমান দূরবর্তী দুইটি বিন্দুর সমস্যাটির মিল খুঁজে পাচ্ছ? উভয় ক্ষেত্রেই বলা হয়েছে যে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে অন্য দুইটির দূরত্ব সমান।

আচ্ছা, আশা করি $P$ হতে $Q$ এর দূরত্ব বের করতে তোমাদের তেমন কোনো সমস্যা হবে না, শুধু সূত্র প্রয়োগ করতে হবে। কিন্ত $P$ বিন্দু হতে $y$-অক্ষের দূরত্ব - এটা আবার কী জিনিস? এটা যতটা বিদঘুটে শোনাচ্ছে, আসলে এটা তেমন কিছুই না। তোমরা বলো তো, একটি বিন্দু হতে একটি রেখার দূরত্ব আমরা কিভাবে নির্ণয় করি? ইয়া, ঐ বিন্দু থেকে রেখাটির উপর একটি লম্ব আঁকি এবং এই লম্ব দূরত্বটিই হল তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব। তাহলে এক্ষেত্রে আমাদেরকে $P$ বিন্দু হতে $y$-অক্ষের উপর একটি লম্ব আঁকতে হবে। চল এঁকে ফেলি (চিত্র – $7$)।

এখানে লম্বটি $y$-অক্ষকে $R$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। অর্থাৎ $P$ হতে $y$-অক্ষের দূরত্ব $= PR$। আচ্ছা $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত? খেয়াল করে দেখ, যেহেতু $PR, y$-অক্ষের উপর লম্ব, তাই $x$-অক্ষ হতে $P$ ও $R$ বিন্দুর উচ্চতা সমান হবে। তাহঅলে বলো তো, উভিয়ের উচ্চতা কত? হ্যাঁ, উচ্চতা $= y$। তাহলে $R$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে $(0,y)$। এখন তাহলে আমাদের $P,Q,R$ বিন্দু তিন্টির উচ্চতা জানা আছে। তো আর দেরী কিসের? চল, ঝটপট সমস্যাটি সমাধান করে তুমি এবং আমি দুইজনেই এই আর্টিকেল থেকে মুক্তি লাভ করি <3

প্রশ্নমতে,

$PR = PQ$

বা, $\sqrt{x^2} = \sqrt{(3 - x)^2 + (2 - y)^2}$

বা, $x^2 = (3 - x)^2 + (2 - y)^2$

বা, $x^2 = 9 - 6x + x^2 + 4 - 4y + y^2$

বা, $x^2 - 9 + 6x - x^2 - 4 + 4y - y^2 = 0$

$∴ y^2 - 4y - 6x + 13 = 0$ (প্রমাণিত) ∎

আহ, টায়ার্ড হয়ে গেলাম। আর না, তোমরাও বিস্রাম নাও, আমিও নি। বাই <3

In this discussion we'll learn how to find the distance between any two points in the plane given their coordinates. At the end, we'll even see how to find the distance between two points in spaaaaaace!

Let's start with a warmup:

Now do the same for a vertical line:

Notice that in the first problem, the distance is the positive difference of the $x$-coordinates, and in the second, it is the positive difference of the $y$-coordinates. Now we want a formula that works in general.

Let's try something slightly harder now.

These examples show that in general, we can compute the distance between two points $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ by first computing their vertical and horizontal distances, $|x_1-x_2|$ and $|y_1-y_2|$, and using the Pythagorean theorem with those as the legs!

Now, see if you can figure out the whole formula:

Bonus: The formula for the distance between two points $(x_1,y_1,z_1)$ and $(x_2,y_2,z_2)$ in three dimensions is $$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}.$$ Can you prove it?

The distance between two points: on one axis

Often, problems will require finding the distance between two points on some coordinate plane.

Let's start off with an easy case: when two points have the same $x$-coordinate or $y$-coordinate. Here, you just ignore the other axis and simply find the distance by finding the difference between the different coordinates.

Distance in $2$D

Now to tackle the harder problem: if the points had different $x$ and $y$ coordinates.

Unfortunately, the segment connecting them is not so easy to measure now. It's just too sideways.

However, there is a way around it. If we draw a right triangle with legs parallel to the $x$ and $y$ axis, there is suddenly hope. The length of the $x$-leg is simply the distance between the $x$-coordinates of the points, and similarly for the $y$-leg.

What tool do we need to proceed?

The crucial fact here is that the triangle is right. Therefore, we can use Pythagorean Theorem to figure out the length of the hypotenuse!

Which will lead us to the distance formula, but first, a problem.

The Distance Formula

Now to put all that down into one formula. Can we generalize our process to any points $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$?

First, the $x$-leg will have a length of $|x_1-x_2|$, the difference of the $x$-coordinates. The absolute value signs are there for now since distance is always positive.

Similarly, the $y$-leg will measure $|y_1-y_2|$.

Now to use Pythagorean Theorem to get the distance. Let's call it $d$.

$$d^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2$$

Note: the absolute value signs disappear because when something is squared, it is going to be positive anyway.

Finally, we square root $d^2$, giving us the distance formula:

$$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

When most people learn this, they were usually first presented the final, complicated formula, without knowing how it works. But the explanation behind it is quite simple (and you just read one :) ).

Further Onward

Think about a $3$D coordinate space. How might we create a distance formula for two points $(x_1,y_1,z_1)$ and $(x_2,y_2,z_2)$?

Hello! This is an example of a "portal". The idea is that once you've learned everything on this map up to here (the Distance formula), you're ready to learn the essentials of coordinate bashing.

Enjoy!

The distance formula--and hence the Pythagorean Theorem--have a neat application to geography. Here is an example.

You are traveling from Rock Springs, Wyoming to Fort Collins, Colorado. From east to west, the two cities are 290 miles apart. From north to south, the two cities are 110 miles apart. If a perfectly straight road connecting the two cities was built, how long would it be?

Solution: This problem is the distance formula in two perpendicular dimensions. They form a right triangle with legs of lengths 290 miles and 110 miles, where we seek the length of the hypotenuse, which we will label D for distance. We can use the Pythagorean Theorem to solve:

$D^2 = 290^2 + 110^2 \Rightarrow$ $D = \sqrt{290^2 + 110^2} = 310.16 \; miles$

Look at the diagram. Lets say that the coordinates of A are $(x_1,y_1)$ and the coordinates of B are $(x_2,y_2)$ Then the coordinates of C are $(x_1,y_2)$.

We will first find the length of segments AC and BC. The lengths of these segments are $y_2-y_1$ and $x_2-x_1$. Using the Pythogorean Theorem, the length of segment AB is:

$$\sqrt{(y_2-y_1)^{2}+(x_2-x_1)^{2}}$$

Q.E.D.

Here is some last-minute practice on the Distance Formula before you head to Coordinate Bashing! Best of luck on your new endeavor!