পাওয়ার অফ পয়েন্ট উপপাদ্য

এখানে আমরা “Power of a point” নামে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ একটা থিওরেম নিয়ে আলোচনা করব। তো শুরু করা যাক। নিচের চিত্রটা দেখ। চিত্রে $AB$ এবং $CD$ জ্যা দুটি পরস্পর $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। আমরা $AP,\ BP,\ CP$ এর মান জানি। $DP$ এর মান বের করতে হবে।

আমরা $DP$ এর মান অনেকভাবেই বের করতে পারি। তবে এখানে সদৃশ ত্রিভুজ ব্যবহার করে বের করবো। (কেন সেটা একটু পরেই বুঝতে পারবে।) দেখ, চিত্রে কোন ত্রিভুজ নেই।অর্থাৎ আমাদেরকে ত্রিভুজ বানিয়ে নিতে হবে।

$AC$ এবং $BD$ অথবা $AB$ এবং $CD$ যোগ করলে আমরা দুটি ত্রিভুজ পাব।

যেহেতু এখানে আমরা সব বাহুর মান জানি না তাই বাহুর অনুপাত দিয়ে সদৃশতা প্রমাণ করা সম্ভব নয়।তাহলে আমাদের হাতে একটাই উপায় রইল,অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান দেখানো

যেহেতু বৃত্ত আছে,সেহেতু “একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান সকল বৃত্তস্থ কোণ পরস্পর সমান” এই থিওরেমটা আমরা ব্যবহার করতে পারি। এখন, $AC$ এবং $BD$ যোগ করি। দেখ, $$\angle ACP=\angle ACD=\angle ABD=\angle PBD$$. কারণ তারা একই চাপ $AD$ এর ওপর অবস্থিত। একইভাবে $$\angle CAP=\angle CAB=\angle CDB=\angle PDB$$. তাহলে, $\triangle ACP$ এবং $\triangle PBD$ এর মধ্যে $$\angle ACP=\angle PBD\\ \angle CAP=\angle PDB$$ এবং $$\angle APC=\angle DPB$$ সুতরাং ত্রিভুজ দুইটি পরস্পর সদৃশ। সুতরাং, $$\dfrac {AP} {CP}=\dfrac {DP} {BP}$$।এখন আড়গুণন করে পাই, $$AP \times PB=CP \times PD$$. এখন এখানে $AP,\ BP,\ CP$ এর মান বসালেই $DP$ এর মান বের করতে পারব। উপরের লাইনটার দিকে একটু ভালো করে তাকাও।কারণ এটাই আমাদের আলোচ্য বিষয় অর্থাৎ Power of A Point Theorem. আমরা যদি আরও একটা রেখা নেই যেটা $P$ বিন্দু দিয়ে যায় এবং ধরি বৃত্তটিকে $E,F$ বিন্দুতে ছেদ করে।তাহলে, $AP \times PB=CP \times PD=EP \times PF$. এটাও একদম একইভাবে সদৃশতা ব্যবহার করে প্রমাণ করা যায় (নিজে কর) অর্থাৎ $AP \times PB$ এই লাইনটার মান $AB$ রেখার ওপর নির্ভর করছে না,বরং $P$ বিন্দুর অবস্থানের ওপরেই নির্ভর করছে।যেকোনো দুটি জ্যা এর ছেদবিন্দুর জন্যই এটা সত্য।অর্থাৎ যদি ভিন্ন দুটি রেখা বৃত্তটিকে যথাক্রমে $S,T$ এবং $U,V$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং $UV$ এবং $ST$ জ্যা পরস্পরকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে,তাহলে $SQ \times QT=UQ \times QV$.(প্রমাণ একইরকম)। দুটি রেখা যে সবসময় আলোচ্য বৃত্তের ভেতরেই ছেদ করবে তা নয়।বাইরেও ছেদ করতে পারে।

দেখেছ।নিচের চিত্রে দুটি রেখা পরস্পর $P$ বিন্দুতে ছেদ করেছে (এক্ষেত্রে $P$ বিন্দুর অবস্থান বৃত্তের বাইরে) এবং বৃত্তটিকে যথাক্রমে $A,B$ এবং $C,D$ বিন্দুতে ছেদ করেছে। এক্ষেত্রেও $AP \times PB=CP \times PD$.প্রমাণ কিন্তু একইরকম সদৃশতা ব্যবহার করেই,শুধু একটু পার্থক্য আছে।তবে আগে নিজে চেষ্টা কর প্রমাণ করার তারপরে নিচের প্রমাণ দেখ। প্রমাণ:$B,D$ এবং $A,C$ যোগ কর।তাহলে $\angle PBD=180^{\circ}-ABD$(কারণ $\angle$ ABP একটি সরলকোণ অর্থাৎ $180^{\circ}$)=$\angle ACD$(কারণ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি $180^{\circ}$)=$\angle ACP$.একইভাবে $\angle PDB=\angle PAC$.আবার,$\angle APC=\angle BPD$(একই কোণ,খালি নাম আলাদা)।অর্থাৎ $\triangle BPD$ এবং $\triangle CPA$ এর সকল অনুরূপ কোণ পরস্পর সমান।অর্থাৎ তারা সদৃশ।তাহলে, $\dfrac {PB} {PC}=\dfrac {PD}{PA}$ $\Rightarrow$ $PB \times PA=PC \times PD$ বা $AP \times PB=CP \times PD$.

তাহলে Power of a point theorem কে আমরা এভাবে লিখতে পারি: যদি $A,B,C,D$ বিন্দু চারটি একটি বৃত্তের ওপরে অবস্থিত হয় এবং $AB$,$CD$ পরস্পর $P$ বিন্দুতে ছেদ করে তাহলে $AP \times PB=CP \times PD$. আচ্ছা,Power of a point theorem তো শিখলাম,এখন কথা হচ্ছে $AP \times PB=CP \times PD$ বা $SQ \times QT=UQ \times QV$ এই রাশিগুলোর মান কত?এদের কি নির্দিষ্ট কোনো মান আছে?উত্তর হচ্ছে,হ্যাঁ।এদের নির্দিষ্ট মান আছে।তবে সেটা অনন্য(unique) না।অর্থাৎ একেক বিন্দুর ক্ষেত্রে মান একেক রকম।এখন আমরা দেখব মানগুলো কিরকম হয়,কোনো সূত্র বের করতে পারি কিনা।তার আগে তোমরা নিজেরা একটু চেষ্টা করে দেখো তো কোনো সূত্র বের করতে পারো কি না। আমরা যেকোনো বিন্দু $P$ এর power বের করব একটা নির্দিষ্ট বৃত্তের সাপেক্ষে।আমরা জানি যদি ঐ বৃত্তের যেকোনো একটা জ্যা $P$ বিন্দু দিয়ে যায় এবং বৃত্তটিকে $A,B$ বিন্দুতে ছেদ করে,তাহলে $AP \times PB$ এই রাশিটার মান $AB$ জ্যা এর ওপর নির্ভর করে না।তাহলে এমন একটা জ্যা $AB$ আঁকি যেটি ঐ নির্দিষ্ট বৃত্তটার কেন্দ্র এবং $P$ বিন্দু দিয়ে যায়।এবং ধরি,ওই বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এবং কেন্দ্র $O$.তাহলে $AP \times PB=(r-OP)(r+OP)=r^{2}-OP^{2}$(যদি $P$ বিন্দু বৃত্তের ভেতরে হয়) আর $AP \times PB=(OP-r)(OP+r)=OP^{2}-r^{2}$(যদি $P$ বিন্দু বৃত্তের বাইরে হয়)অর্থাৎ একবারে লেখা যায় $AP \times PB=|OP-r| |OP+r|=|OP^{2}-r^{2}|$(এখানে,‘| |’ চিহ্নের অর্থ হল পরমমান (absolute value) অর্থাৎ ‘| |’ চিহ্নের ভেতরের রাশির মান সবসময় ধনাত্মক হবে)।অর্থাৎ $AP \times PB=|OP-r| |OP+r|=|OP^{2}-r^{2}|$. এটাই $P$ বিন্দুর Power,$r$ ব্যাসার্ধ এবং $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের সাপেক্ষে।

হ্যাঁ, $0$. কারণ, তখন $|OP-r|\ =\ |r-r|\ =\ 0$. অতএব, $|OP-r|\ |OP+r|\ =\ 0.\ |OP+r|\ =\ 0$.

$OP^{2}-r^{2}$ এই রাশির মান $P$ বিন্দু থেকে অঙ্কিত উক্ত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের বর্গের সমান। ধর, $PR$ একটি স্পর্শক। এখন আমরা প্রমাণ করব যে, $PR^{2}\ =\ OP^{2}-r^{2}$. এখানে এটার দুটো প্রমাণ উল্লেখ করা হল।

প্রমাণ (১): আমরা জানি, $OR$ রেখা $PR$ রেখার ওপর $R$ বিন্দুতে লম্ব।তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে আমরা পাই, $PR^{2}=OP^{2}-r^{2}$.

প্রমাণ (২): $P$ বিন্দু থেকে একটি রেখা আঁকি যেটা বৃত্তটিকে $S,\ T$ বিন্দুতে ছেদ করে। এখন $R,\ S$ এবং $R,\ T$ যোগ করি। তাহলে $\angle RPS=\angle RPT$, $\angle PRS=\angle RTS$ (একান্তর বৃত্তাংশস্থ কোণ (Tangent-secant Theorem))=$\angle RTP$. সুতরাং, $\triangle PRS$ এবং $\triangle PTR$ সদৃশ। তাহলে, $$\dfrac {PR} {PT}=\dfrac {PS} {PR}$$ $$\Rightarrow \ PR^{2}=PS \times PT$$.

এবার Power of a point theorem এর একটা দরকারি থিওরেম দিয়ে শেষ করব।এটা Power of a point theorem এর বিপরীত উপপাদ্য(Converse of Power of a Point Theorem). উপপাদ্য:যদি দুটি রেখা $AB$ এবং $CD$ পরস্পর $P$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং যদি $AP \times PB=CP \times PD$ হয়,তাহলে $A,B,C,D$ বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত। প্রমাণ:মনে করি,$A,B,C,D$ বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত নয়।তাহলে ধরি,$CD$ রেখা $\triangle ABC$ এর পরিবৃত্তকে $D^{'}$ বিন্দুতে ছেদ করে।তাহলে Power Of A Point Theorem থেকে বলা যায়,$AP \times PB=CP \times PD^{'}$.আবার দেয়া আছে যে,$AP \times PB=CP \times PD$.সুতরাং, $CP \times PD^{'}=CP \times PD$ $\Rightarrow$ $PD^{'}=PD$.যেহেতু $D$ এবং $D^{'}$,$P$ বিন্দুর একই পাশে অবস্থিত,অতএব,$D=D^{'}$.অর্থাৎ $CD$ রেখা $\triangle ABC$ এর পরিবৃত্তকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে।সুতরাং,$\triangle ABC$ এর পরিবৃত্তের ওপরে $D$ বিন্দু অবস্থিত।অর্থাৎ $A,B,C,D$ বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত। NOTE:উপরের প্রমাণে আমরা যে পদ্ধতিতে প্রমাণ করলাম সেটাকে বলে বৈপরিত্যের মাধ্যমে প্রমাণ(Proof by contradiction)।এই পদ্ধতির মূল কথা হচ্ছে,সমস্যাকে মিথ্যে ধরে নেয়া।তারপরে দেখানো যে প্রশ্ন মিথ্যে হওয়া সম্ভব নয় অর্থাৎ প্রশ্ন মিথ্যে হলে এমন একটা কিছু আসে যেটা ভুল বা অসম্ভব।তাহলে এটা প্রমাণিত হয় যে,প্রশ্নটাই সঠিক ছিল।শুধু জ্যামিতিতে নয়,গণিতের অন্যান্য শাখাগুলিতেও এই পদ্ধতিতে অনেক সমস্যা সমাধান করা যায়।

তাহলে এবার আমরা এতক্ষণ যা যা শিখলাম তার একটা সারাংশ করি:

(১)কোনো একটা নির্দিষ্ট বৃত্তের সাপেক্ষে একটি বিন্দু $P$ এর Power $|OP^{2}-r^{2}|$ যেখানে $O$ হচ্ছে ঐ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $r$ ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

(২)যদি $P$ বিন্দু থেকে অঙ্কিত কোন রেখা কোন নির্দিষ্ট বৃত্তকে $A,B$ বিন্দুতে ছেদ করে,তাহলে $AP \times PB=|OP-r| |OP+r|=|OP^{2}-r^{2}|$ অর্থাৎ $AP \times PB$ হচ্ছে $P$ বিন্দুর Power এর সমান।

(৩)বৃত্তের পরিধিস্থ কোনো বিন্দুর Power $0$.

(৪)Power of a point theorem এর বিপরীত উপপাদ্যও সত্য।অর্থাৎ যদি দুটি রেখা $AB$ এবং $CD$ পরস্পর $P$ বিন্দুতে ছেদ করে এবং যদি $AP \times PB=CP \times PD$ হয়,তাহলে $A,B,C,D$ বিন্দু চারটি একই বৃত্তের ওপর অবস্থিত।

Let's say that we are given the above diagram, and we want to find the length of $AE$. Don't worry, we are told the lengths of $BE$, $DE$, and $CE$, so if we can find $AE$ in terms of those lengths, life is good. Unfortunately, $A$, $B$, $C$, and $D$ are just four random points on a random circle, and we definitely can't assume that $E$ is the center of the circle.

If we just connect $A$ with $B$ and $C$ with $D$,

Boom! Inscribed angles, triangles, you-name-it. It's incredible what adding a few lines can do.

The angles $\angle BAC$ and $\angle BDC$ intersect the same arc, so they are equal! Similarly, the angles $\angle DBA$ and $\angle DCA$ intersect the same arc, so they are also equal. And of course, the vertical angles $\angle AEB$ and $\angle DEC$ are equal. Any two of these three observations would tell us that we've got two triangles with equal angles. Wow, triangles with equal angles.. Looks suspicious.

"WE ARE SIMILAR!" the triangles shout. Similarity tells us that the sides of these two triangles are proportional to each other. Thus, we know $$\frac{AE}{BE} = \frac{DE}{CE}$$ $$AE \cdot CE = BE \cdot DE$$ $$AE =\frac{ BE \cdot DE }{CE}.$$

Awesome, we found $AE$! That's great. However, this wasn't actually just a random situation. The common value of the products in the equation $AE \cdot CE = BE \cdot DE$ depends only on the powerful point $E$ and is therefore called the power of the point $E$ with respect to this circle. Also, the relationship $AE \cdot CE = BE \cdot DE$ is so important that it is called the Power of a Point Theorem. Turns out this theorem holds in a variety of circle and point configurations! If you are curious, you can verify that the Power of a Point Theorem holds in the two set-ups below. Use steps very similar to those we just used in your solutions.

This post addresses the tangent/degenerate case of power of a point.

Power of a Point states that, in the following diagram,

$$\overline{PB} \times \overline{AP}= \overline{PC} \times \overline{PD}$$ always holds. But what happens if $\overline{CP}$ or $\overline{BP}$ becomes, instead of a secant, a tangent to the circle? i.e.

so $A$ coincides with $B$?

Amazingly (or un-amazingly), Power of a Point still holds, just in a different form, namely $$\overline{BP}^2 = \overline{PC} \times \overline{PD}$$, and can be proved with the same method used to prove the "original" Power of a Point.

Essentially, the two similar triangles are $BDP$ and $BCP$ because $\angle DBP= \angle BCP$ by inscribed angles and $\angle BPD = \angle BPC$. From this, we get $$\begin{align*} \frac{\overline{BP}}{\overline{PC}} &= \frac{\overline{PD}}{\overline{BP}} \\ \overline{BP}^2 &= \overline{PC}\times\overline{PD} \end{align*}$$ and we are done.

When two chords intersect, as seen above, they are split in such a way where the product of the chord segments are equal.

In Diagram $DE(EB) = AE(EC)$