বর্গ সম্পূর্ণ করা: গ্রাফের শীর্ষবিন্দু

দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফ দেখেছ? মানে $y=ax^2+bx+c$ ফাংশনের গ্রাফ যেখানে $a,b,c\in\mathbb R$? এটি একটি parabola বা পরাবৃত্তের সমীকরণ। গ্রাফটা দেখতে অনেকটা সোজা U (যখন $a>0$) অথবা উল্টো U (যখন $a<0$) এর মত হয়।

যেমন এখানে প্রথমটা $y=x^2-4x+1$ এর গ্রাফ এবং পরেরটা $y=-\dfrac 1 2 x^2+2x+2$ এর গ্রাফ।

দেখ প্রথম গ্রাফটি নিচে নামতে নামতে $X$ বিন্দুতে ঘুরে আবার উপরে উঠে যায়। দ্বিতীয় গ্রাফটি উপরে উঠে আবার $X$ বিন্দুতে ঘুরে নিচে নেমে যায়। এই turning point $X$ কে পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু বা vertex বলে।

আচ্ছা vertex কি তা না হয় জানলাম। কিন্তু এটা বের করব কিভাবে? ধর প্রথম গ্রাফটা, $y=x^2-4x+1$ এর vertex আমাদের বের করতে হবে এবং আমরা এটা আঁকার ঝামেলায় যেতে চাই না। কিন্তু আমরা তো vertex বলতে একটা physical জিনিস বুঝি। সোজা বা উল্টো U এর মাথাটাই vertex। তাহলে কিছু না এঁকে এটা বের করব কিভাবে?

একটা জিনিস খেয়াল কর। প্রথম গ্রাফটিতে $y$ এর মান $X$ বিন্দুতে সবচেয়ে কম। আবার দ্বিতীয় গ্রাফটিতে $y$ এর মান $X$ বিন্দুতে সবচেয়ে বেশি। অর্থাৎ এক্ষেত্রে আমরা শীর্ষবিন্দু বা vertex কে এভাবেও সংজ্ঞায়িত করতে পারি: $a>0$ হলে $y=ax^2+bx+c$ ফাংশনের মান যে বিন্দুতে সবচেয়ে কম সেটাই তার শীর্ষবিন্দু। আর $a<0$ হলে $y=ax^2+bx+c$ ফাংশনের মান যে বিন্দুতে সবচেয়ে বেশি সেটাই তার শীর্ষবিন্দু।

অর্থাৎ $x$ এর কোন মানের জন্য $y=ax^2+bx+c$ ফাংশনটির মান সর্বোচ্চ (বা সর্বনিম্ন) তা বের করতে পারলেই আমরা vertex $(x,y)$ পেয়ে যাব। এই কাজের জন্য আমরা completing the square বা বর্গ পূর্ণ করার টেকনিক ব্যবহার করতে পারি।

ধর প্রথম গ্রাফটা $y=x^2-4x+1$ এর vertex আমাদের বের করতে হবে। এখানে $x^2$ এর সহগ $a=1>0$ তাই এই ফাংশনের কোন সর্বোচ্চ মান নেই, কিন্তু সর্বনিম্ন মান আছে।

আমরা এভাবে লিখতে পারি $y=x^2-4x+1=\left(x^2-4x+4\right)-3=(x-2)^2-3$। এতে কি সুবিধা হল? আমরা জানি কোন বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্নক হতে পারে না। অর্থাৎ কোন বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বনিম্ন $0$ হতে পারে।

তাহলে দেখ, $x$ এর মান যাই হোক না কেন, $(x-2)^2$ এর মান $0$ এর কম হবে না, অর্থাৎ $(x-2)^2\ge 0$। এখন দুইপাশে $3$ বিয়োগ করে পাবে $(x-2)^2-3\ge -3$। ব্যাপারটা এভাবে চিন্তা করতে পারো: $(x-2)^2-3$ হল $(x-2)^2$ থেকে $3$ কম। $(x-2)^2$ সর্বনিম্ন $0$ হতে পারে, এবং তখন $(x-2)^2-3$ তার সর্বনিম্ন মান $0-3=-3$ হবে।

সুতরাং, $y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3$ এর সর্বনিম্ন মান $y=-3$, যখন $(x-2)^2=0$ বা $x=2$ হবে। তাহলে এই গ্রাফের vertex $(x,y)=(2,-3)$।

আমরা দ্বিতীয় গ্রাফে ফিরে যাই। এখানে $y=-\dfrac 1 2 x^2 +2x+2$। এটিকে আমরা লিখতে পারি $$y=-\dfrac 1 2\left(x^2-4x-4\right)=-\dfrac 1 2\left(x^2-4x+4-8\right)$$ $$=-\dfrac 1 2 \left[(x-2)^2-8\right]=-\dfrac 1 2 (x-2)^2+4.$$

এখানে $(x-2)^2$ কখনো ঋণাত্নক হতে পারে না।

অর্থাৎ $-\dfrac 1 2(x-2)^2$ এর সর্বোচ্চ মান $0$। তাহলে $y=-\dfrac 1 2(x-2)^2+4$ এর সর্বোচ্চ মান কত হবে? অবশ্যই $4$। $$-\dfrac 1 2 (x-2)^2\le 0 ~~\Rightarrow~~ -\dfrac 1 2 (x-2)^2+4\le 4.$$ সুতরাং $y=-\dfrac 1 2 x^2+2x+2=-\dfrac 1 2(x-2)^2 +4$ এর সর্বোচ্চ মান হবে $4$ যখন $(x-2)^2=0$ বা $x=2$। তাহলে এই ফাংশনের গ্রাফের vertex হল $(x,y)=(2,4)$, যেটা আমরা গ্রাফে পেয়েছিলাম।

নিশ্চয়ই বুঝতে পারছ এই জিনিসটা সহজেই generalize করা যায়। আমাদের দ্বিঘাত ফাংশনটা যদি $y=ax^2+bx+c$ হয় তাহলে $$y=a\left(x^2+\dfrac b a x+\dfrac c a\right)=a\left[x^2+2x\dfrac{b}{2a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac c a-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]$$ $$=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac c a-\dfrac{b^2}{4a^2}\right]=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}.$$

এখন $a>0$ হলে $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}\ge 0+c-\dfrac{b^2}{4a}$। অর্থাৎ $y$ এর সর্বনিম্ন মান $c-\dfrac{b^2}{4a}$ যখন $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ বা $x=-\dfrac{b}{2a}$।

আবার $a<0$ হলে $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+c-\dfrac{b^2}{4a}\le 0+c-\dfrac{b^2}{4a}$। অর্থাৎ $y$ এর সর্বোচ্চ মান $c-\dfrac{b^2}{4a}$ যখন $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ বা $x=-\dfrac{b}{2a}$।

দুইক্ষেত্রেই $y=ax^2+bx+c$ এর গ্রাফের vertex হচ্ছে $(x,y)=\left(-\dfrac{b}{2a},c-\dfrac{b^2}{4a}\right)$। $a>0$ হলে এটি সবচেয়ে নিচের বিন্দু, আর $a<0$ হলে এটি সবচেয়ে উপরের বিন্দু।

(Video) How to Find the Vertex of a Parabola

by Nancy Pi

In this video by Nancy Pi it is explained how to find the vertex of a parabola.

There are two forms a parabola can come in: standard form, and vertex form.

Standard Form

A parabola in standard form has the general equation: $$y=ax^2+bx+c$$ An example of this is $y=-2x^2+4x+1$.

To find the $x$-coordinate for the vertex, you first need to calculate: $$-\frac{b}{2a}$$ Using our example, this is: $$-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2(-2)}=1$$ Thus, our vertex point is at $(1,?)$.

To find the $y$-coordinate, we just plug our $x$ value back into the equation. $$\begin{align} y&=-2x^2+4x+1\\ y&=-2(1)^2+4(1)+1\\ y&=-2+4+1\\ y&=3 \end{align}$$ So the vertex of this parabola is at the point $(1,3)$.

Vertex Form

A parabola in vertex form has the general equation: $$y=a(x-h)^2+k$$ An example of this is $y=2(x-1)^2+3$.

This form gives us the vertex automatically. The vertex is $(h,k)$. Looking at our given equation, the vertex is $(1,3)$.

Be careful with this form. We want to make sure the $h$ is being subtracted: $(x\color{Red}{-}h)^2$.

So if we were given the equation $y=2(x+3)^2+4$, we would want to rewrite this as: $$y=2\left(x-\left(-3\right)\right)^2+4$$ This tells us the vertex is at $(-3,4)$.

There are times in math when we want to convert a quadratic equation in standard from into other forms.

For this lesson, we want to go from standard from to an equation with a perfect square trinomial.

That means, we are trying to go from this:

$$ax^2+bx+c=0$$

...to this form of the equation:

$$a(x+d)^2 +e=0$$

This second, transformed, equation is the vertex form of a quadratic function. We also use completing the square when deriving the quadratic formula.

This transformation is calling completing the square. We will manipulate terms, add and subtract, multiply and divide terms.

Completing the Square: Background

To understand how to complete the square, we have to go back to the formula for the square of a binomial.

Remember that when we square a binomial, we use the form:

$$(x+a)^2 = x^2+2ax+a^2$$

But not all quadratic equations will be of that form with the constant term being a perfect square, so we use completing the square to transform the quadratic. Let's consider the following quadratic:

$$x^2+6x+12$$

, where we know that $2ax=6x \rightarrow a=3$. So, the perfect square trinomial will look like: $x^2+6x+9$. However, that's not the quadratic that we are solving.

$$\begin{align} 0&=x^2+6x+12\\ &=(x^2+6x+9)+3\\ -3&=x^2+6x+9\\ -3&=(x+3)^2\\ 0&=(x+3)^2+3\\ \end{align}$$

Completing the Square: Method

In order to complete the square, your quadratic equation must first be in standard form, $ax^2+bx+c=0$. That means all of the terms must be on the left hand side.

There are five steps to completing the square:

1. Divide all terms by $a$, in order for $a=1$.

2. Move the constant term to the right side of the equation.

3. Complete the square by adding $(\frac{b}{2})^2$ to both sides, and simplify. This is your vertex form.

4. Take the square root of both sides.

5. Simplify and solve for $x$.

Example

Solve $x^2+4x+3=0$ by completing the square.

1. Divide all terms by $a$, in order for $a=1$.

$$\text{In this case, } a=1$$

1. Move the constant term to the right side.

$$x^2+4x=-3$$

1. Complete the square by adding $(\frac{b}{2})^2$ to both sides, and simplify.

$$\begin{align} x^2+4x + (\frac42)^2 &= -3 + (\frac42)^2\\ x^2+4x + 4 &= -3 + 4\\ (x+2)^2 &= 1\\ \end{align}$$

1. Take the square root of both sides. $$\begin{align} \sqrt{(x+2)^2} &= \sqrt{1}\\ (x+2) &= \pm1\\ \end{align}$$

2. Simplify and solve for $x$. $$\begin{align} x+2 &= 1\\ x &= -1\\ \text{OR}\\ x+2 &= -1\\ x &= -3\\ \end{align}$$

The solution:

$$\begin{align} x^2+10x+15 &= 0\\ x^2 +10x &= -15\\ x^2+10x + (\frac{10}{2})^2 &= -15 + (\frac{10}{2})^2\\ x^2+10x + 25 &= -15 + 25\\ (x+5)^2 &= 10\\ \sqrt{(x+5)^2} &= \sqrt{10}\\ x+5 &=\pm\sqrt{10}\\ x &=-1.84, -8.16 \end{align}$$

(Video) Find the Turning Point of Quadratic Graphs

by HEGARTYMATHS

Here's a video by HEGARTYMATHS showing you how to use the method of completing the square to find the turning point or vertex. Previously when completing the square, we turned the problem into the form $(x+\frac12b)^2-(\frac12b)^2+c$. From here we can easily find out what the vertex of the graph is. The vertex will always be the opposite of the number inside the parenthesis and the exact number outside the parenthesis. So the vertex will be $(-\frac12b, c-(\frac12b)^2)$.

Quadratics: Completing the Square

In this lesson, we will learn how to complete the square to solve quadratic equations. You might remember that quadratic equations can look like this: $ax^2+bx+c=0$. We've also learned how to find the roots (or solutions) of these equations.

Now, we'll focus on a new method to solve them: completing the square.

The idea behind completing the square is to turn the quadratic equation into a perfect square trinomial, which is an expression that looks like $(x+p)^2$, where $p$ is some number. The trick is to adjust the equation so that the left side is a perfect square.

Let's walk through an example.

$$\begin{align} x^2 + 6x -7 &= 0 \\ x^2 + 6x &= 7 \\ x^2 + 6x +9 &= 7 +9 \\ (x+3)^2 &= 16 \\ x+3 &= \pm 4 \\ x = 1 \text{ or } x= -7 \\ \end{align}$$

Completing the square works every time, and it's a great way to solve quadratic functions that don't easily factor. A good tool for your toolbox!