পরিকেন্দ্র ও পরিবৃত্ত অঙ্কন

এখানে আমরা আলোচনা করব কিভাবে একটি ত্রিভুজের পরিবৃত্ত এবং পরিকেন্দ্র আকতে হয়। ★প্রথমে ত্রিভুজ এর তিন বাহুর মধ্যবিন্দু নির্ণয় করি। এবার সেই মধ্যবিন্দুতে সেই বাহুর উপর লম্ব আকি। সেই লম্ব তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে সেটাই হলো পরিকেন্দ্র। পরিবৃত্ত অংকনঃ পরিকেন্দ্রকে কেন্দ্র করে পরিকেন্দ্র থেকে যেকোন শীর্ষের দুরত্বের সমান ব্যসার্ধ নিয়ে যে বৃত্ত আকা হবে সেটাই ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত। প্রমাণঃ মনে করি ত্রিভুজটি ABC.A,B কে আমরা পরিধির উপর ধরে বৃত্ত কল্পনা করি। তাহলে আমরা অসীম সংখ্যক বৃত্ত পাব। তাইলে অসীম সংখ্যক কেন্দ্র পাব। সেগুলা প্রত্যেকে A, B থেকে সমান দুরত্বে অবস্থিত। তাইলে কেন্দ্রগুলার লোকাস AB এর উপর লম্বদ্বিখন্ডক হবে। কেন হবে তা বুঝার জন্য একটা উপপাদ্য মনে করি। AB তো বৃত্তগুলার জ্যা হবে সন্দেহ নাই কারণ A, B বৃত্তগুলার পরিধির উপর থাকবে। উপপাদ্য টি হলো কোন বৃত্তের জ্যা এর উপর কেন্দ্র থেকে লম্ব আকা হলে সেই লম্বের পাদ বিন্দু অবশ্যই জ্যা টির মধ্য বিন্দু হবে। এটার উল্টাটাও সত্য। তাইলে কি আমরা কেন্দ্রগুলার সঞ্চারপথ পাইতেছি লম্বদ্বিখণ্ডক। আবার B,C এর ক্ষেত্রেও আমরা এই রকম লোকাস পাব B,C কে পরিধির উপর রেখে। এবার যদি সেই দুইটি সঞ্চারপথ পরস্পর সমান্তরাল হবে কারণ A,B,C সমরেখ না। তাইলে যে বিন্দুতে ছেদ করবে সেটা কে কেন্দ্র করে আমি সেই বিন্দু হতে A এর দুরত্বের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আকলে সেটা A,B,C এর উপর দিয়ে যাবে যেহেতু দুরত্ব সমান।

Drawing a Geometry Diagram : Constructing the Circumcenter

Step 1 : Draw a nice, big, triangle and its midpoint of two sides.

Step 2 : Next, draw a perpendicular through the two midpoints. Their intersection is the circumcenter.

Step 3 : The circumcircle can be construct by drawing a circle with the center the circumcenter and passing through $A$ (or $B$, $C$).

Okay, so we want to create the circumcenter of a (non-degenerate) triangle $ABC$.

Well, let's think about this. The circle that goes through $A$, $B$, and $C$ has to go through $A$ and $B$, $B$ and $C$, and $A$ and $C$.

So, let's draw in the perpendicular bisector of $AB$.

Well, now what? Think for a moment.

Construct another perpendicular bisector! If one perpendicular bisector contains all of the centers of the circles that go through $A$ and $B$, and the other contains all of the centers of the circles of $B$ and $C$, then their intersection should contain the center of the circle that goes through $A$, $B$, and $C$, i.e. the circumcircle!

So, we draw the perpendicular bisector of $BC$

Now that we have the circumcenter ($H$), we can draw the circumcircle of $ABC$.

As you can see, we have successfully constructed the circumcircle (and circumcenter) of triangle $ABC$!