প্রমাণের পদ্ধতি: কেস ধরে করার পরিবর্তে দিকযুক্ত কোণ

জ্যামিতির অধিকাংশ সমস্যার সমাধানই অনেকগুলো কোণের মান বের করে করা হয়। সাধারণত তার জন্য আমরা রেফারেন্স হিসেবে একটা ছবি ব্যবহার করি । কিন্তু যদি একই সমস্যার দুটি ছবি থাকে তাহলে কি আমাদের প্রতিটি ছবির জন্য আলাদা প্রমাণ লিখতে হবে কষ্ট করে ?

$A,B,C,D$ এ চারটি বিন্দু একই বৃত্তের উপর অবস্থান করলে যে $\angle CAD = \angle CBD$ বা $\angle CAD + \angle CBD = 180^{\circ}$ হয় তা আমরা সকলেই জানি। এখন ধর কোনো একটা সমস্যা সমাধান করতে গিয়ে তুমি এ থিওরেমটি ব্যবহার করতে চাও - তাহলে তুমি কি প্রথম সমীকরণটি ব্যবহার করবে নাকি দ্বিতীয়টি? অবশ্যই তোমার ছবিটির উপর নির্ভর করছে সেটা। তাই এই থিওরেমের দুইটি সমীকরণকে একটাতে পরিণত করতে পারলে কি আমাদের জীবন আরও সহজ হত না ?

** সংজ্ঞা :** দুইটি অসমান্তরাল রেখা $l,m$ দেওয়া হলে, আমরা ডিরেক্টেড কোণ $\measuredangle(l,m)$ দ্বারা সেই কোণটি বোঝাব যার দ্বারা রেখা $l$ কে ঘড়ির কাটার বিপরীতে ঘোরালে রেখা $m$ পাওয়া যাবে।

এটা থেকে ডিরেক্টেড কোণের মানে বোঝা কষ্টকর হতে পারে। তাই নিচের চিত্রটার দিকে তাকাও। আমাদের কাছে রেখা $AB$ ও রেখা $CD$ আছে। রেখা $AB$ কে ঘড়ির কাটার বিপরীতে যদি $\theta$ কোণ ঘুরাই, তাহলে তা $CD$ এর সাথে সমান্তরাল হয়ে যাবে। এই কোণটিকে আমরা $\measuredangle(AB,CD)$ দ্বারা প্রকাশ করি।

এখানে বলে রাখা ভালো যে $\measuredangle$ নোটেশনটা সর্বজনস্বীকৃত নয় - তাই ব্যবহার করার আগে বলে নেওয়া ভালো তুমি এটা কিসের জন্য ব্যবহার করছ।

আমরা যদি ধরে নেই $AB$ ও $CD$ একে অপরকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে $\measuredangle (AB,CD) = \angle BPD$। এবার $CD$ কে যদি আমরা $P$ বিন্দু বরাবর ঘোরাই(ঘড়ির কাটার বিপরীতে অবশ্যই), তাহলে $\angle DPA$ এর সমান ঘোরালেই তা $AB$ এর সমান্তরাল হয়ে যাবে। তুমি যদি এরপর আরও $180^{\circ}$ ঘোরাও,তাহলেও তো $AB$ এর সমান্তরালই থাকে (কোনো রেখাকে $180^{\circ}$ ঘোরালে তা একই রেখার উপর পড়ে)। লক্ষ কর $\angle DPA = 180^{\circ} - BPD =180^{\circ} - \theta$ ।

$AB$ কে ঘড়ির কাটার বিপরীতে $180^{\circ}$ ঘোরালেও তো তা $AB$ এর সমান্তরালই থাকে। অর্থাৎ ডিরেক্টেড কোণ নিয়ে কাজ করতে গেলে কী $180^{\circ} \equiv 0^{\circ}$ ? হ্যাঁ, কিন্তু এটাকে সরল করার একটি উপায় আছে। আমরা যেহেতু ডিরেক্টেড কোণকে $180^{\circ}$ বা তার গুণিতক দিয়ে ঘোরালে একই কোণ পাই, সেহেতু আমরা $180^{\circ}$ এর সকল গুণিতক কে অগ্রাহ্য করলেই পারি। একে বলা হয় ডিরেক্টেড কোণ মডুলো $180^{\circ}$ ।

এখন আমরা একটা নোটেশনের সংজ্ঞা দেই - $\measuredangle AXB$ বলতে আমরা বোঝাই $\measuredangle (AX,XB)$ কে।

খেয়াল কর যে $\measuredangle AXD$ হলো $\measuredangle (AX,XD) = \angle CXA = 180^{\circ} - AXD = 180^{\circ} - 55.76^{\circ} = 124.24^{\circ}$। খেয়াল কর এখান থেকে যে $\measuredangle AXD + \measuredangle DXA = 180^{\circ} = 0^{\circ}$ মডুলো $180^{\circ}$। অর্থাৎ $\measuredangle AXD = -\measuredangle DXA$ ।

এবার আমরা আমাদের সবচেয়ে শুরুর সমস্যাটিতে চলে যাই। একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের কোণগুলোর মধ্যকার সম্পর্ক আমরা ডিরেক্টেড কোণ দ্বারা প্রকাশের চেষ্টা করি।

উপরের চিত্রটিতে $\measuredangle DAC = \measuredangle DBC$ । এখন দুই পাশকে $-1$ দ্বারা গুণ করলে পাই $-\measuredangle DAC = -\measuredangle DBC$ অর্থাৎ $\measuredangle CAD = \measuredangle CBD$।

উপরের চিত্রটি থেকেও পাই $\measuredangle CAD = \measuredangle CBD$ ! দুই ক্ষেত্রেই এই কন্ডিশানটা আসছে। তাহলে আমরা এখন একটি সাধারণ স্টেটমেন্ট করতে পারছি।

** $A,B,C,D$ বিন্দুগুলো একই বৃত্তের উপর অবস্থান করলে $\measuredangle CAD = \measuredangle CBD$ ।**

$B$ যদি "মাঝখানে" থাকে বাকি বিন্দুগুলোর, তাহলে $\measuredangle XAB + \measuredangle BAY$ এ কোণটি $\measuredangle XAY$ এর সমান হয়।

আবার $B$ যদি বাকি কোণ গুলোর বাইরে থাকে, তবে $\measuredangle XAB+\measuredangle BAY$ এ কোণটির মান $\angle XAB - \angle YAB = \angle XAY$ । ডিরেক্টেড কোণ দিয়ে প্রকাশ করলে এটাও $\measuredangle XAY$ এসে দাঁড়ায়। এখান থেকে আমরা কোণ যোগ করার একটি সহজ উপায় পাই।

$$\measuredangle XAB + \measuredangle BAY = \measuredangle XAY$$

এখন পর্যন্ত পাওয়া গুরুত্বপূর্ণ তথ্যগুলোর ছোট একটা রিভিউ দেই।

1. $\measuredangle AXD = -\measuredangle DXA$

2. $A,B,C,D$ বিন্দুগুলো একই বৃত্তের উপর অবস্থান করলে $\measuredangle CAD = \measuredangle CBD$ ।

3. $\measuredangle XAB + \measuredangle BAY = \measuredangle XAY$

A directed angle is an angle with a sign depending on its direction. We usually say that an angle is positive if it reads counterclockwise and negative if it reads clockwise. For example, in the diagram shown below, the $\measuredangle ABC = 60^\circ$ since rotating $AB$ onto $BC$ creates a positive rotation (or counterclockwise rotation). $\measuredangle CBA =-60^\circ$ since rotating $CB$ onto $BA$ creates a negative rotation (or clockwise rotation)

...