সার্বিক ত্রিভুজসমূহ এবং জুতার ফিতা সূত্র (চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল)

স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে কোনো বহুভুজের ক্ষেত্রফল বের করতে আমরা শু-লেস(বাংলা করলে হয় জুতার ফিতা) ফরমুলা ব্যবহার করি। নবম-দশম শ্রেণীর স্কুল বইয়ে আমরা এই ফরমুলার সাথে পরিচিত হয়েছি। আচ্ছা এই সূত্রের নামটা কেমন জানি একটু পাগলাটে না? এর সাথে জুতার ফিতার সম্পর্ক আবার কোথায়?

জুতার ফিতার কথায় একটু পরে আসছি। চল চিন্তা করি একটি বহুভুজের ক্ষেত্রফল কীভাবে মাপা যায়। আমরা চাইলে বহুভুজটিকে কয়েকটি ত্রিভুজে ভাগ করে ক্ষেত্রফল বের করতে পারি। এটি ট্রায়াঙ্গুলেশন পদ্ধতি। আবার আমরা ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল বের করতে পারি। স্কুলের বইয়ের প্রমাণ ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করেই করা হয়েছে। আরেকটা উপায় হতে পারে নতুন একটি বিন্দু $P$ নিয়ে বহুভুজের প্রত্যেক বাহুর সাথে তৈরী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করে বহুভুজের ক্ষেত্রফল বের করা। ছবি দিয়ে এটা দেখানো হলো।

$P$ বহুভুজের বাইরে হলে কিছু অতিরিক্ত ক্ষেত্রফল গোণা হয়। যেমন উপরে ডানপাশের বহুভুজে সবুজ অংশ গুলো অতিরিক্ত গণনা করা হচ্ছে। এগুলা বিয়োগ দেয়া হলে আর খয়েরী ক্ষেত্র যোগ করা হলে বহুভুজের ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে। এখন লক্ষ কর, $FGHIJ$ যদি ক্রম ধরা হয় তাহলে $PFG$,$PGH$ ঘড়ির কাটার দিকে। আর $PHI$, $PIJ$, $PJF$ ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে। এটা কোনো কোইন্সিডেন্স না। এই পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফল বের করতে হলে পাওয়া ত্রিভুজের বিন্দুগুলো ঘড়ির কাটার বিপরীতে হলে যোগ আর ঘড়ির কাটার দিকে হলে বিয়োগ করতে হয়।

আচ্ছা, ঘড়ির কাটার দিক আর বিপরীত দিকের যোগ বিয়োগের কাহিনী কেমনে আয়ত্ব করা যায়? সেটার জন্য চিহ্নিত ক্ষেত্রফলের ধারণা এখানে আসছে। মনে কর, একটি বহুভুজ হলো $A_1A_2...A_n$। এ বহুভুজের বিন্দুগুলো ঘড়ির কাটার বিপরীত দিক অনুযায়ী হলে এর চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল ধনাত্বক আর ঘড়ির কাটার দিকে হলে ঋণাত্মক। চিহ্নযুক্ত ক্ষেত্রফল বোঝানো হলে থার্ড ব্র্যাকেট [] দেয়া হয়।

তাহলে নিশ্চয়ই বলা যায় একটি বহুভুজের ক্ষেত্রফল নির্দিষ্ট বিন্দু হতে প্রত্যেক বাহু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের চিহ্নিত ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। আচ্ছা আমি তো লিখলাম নিশ্চয়ই বলা যায়, তুমি কী নিশ্চিত হতে পেরেছ? খাতায় বিভিন্ন বহুভুজ এঁকে দেখ। গণিতের আসল মজা এখানেই।

সুতরাং, যদি $A_1A_2.....A_n$ একটি বহুভুজ আর $P$ একটি বিন্দু হয়, তাহলে $$[A_1A_2.....A_n]= [PA_1A_2]+[PA_2A_3]+.......+[PA_{n-1}A_n]+[PA_nA_1]$$ এটাকে আরেক ভাবে লেখা যায়, $$[A_1A_2...A_n] = \sum_{i=1}^{n}\left[PA_iA_{i+1}\right]$$ এখানে $A_{n+1}=A_1$।

খেয়াল করে দেখ, যেকোনো বিন্দু $P$ এর জন্যই কিন্তু এ সূত্র সঠিক। তাহলে বল তো, $P$ কোন বিন্দু নিলে সুবিধা সবচেয়ে বেশি হবে?

$P=(0,0)$ অর্থাৎ যদি মূলবিন্দু নেয়া হয় তাহলে সবচেয়ে বেশি সুবিধা হবে।

আচ্ছা তোমরা কী জানো কার্তেসীয় ক্ষেত্রে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কেমনে নির্ণয় করে? $\triangle ABC$ এ $A=(x_1,y_1)$, $B=(x_2,y_2)$, $C=(x_3,y_3)$ হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হয় $$\frac{\left(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3\right)}{2}$$ খেয়াল কর যে $A,B,C$ ঘড়ির কাটার বিপরীতে হলে ক্ষেত্রফল ধনাত্মক আর না হলে ঋনাত্বক হয়। তাহলে কিন্তু এই সূত্র ব্যবহার করে আমরা চিহ্নিত ক্ষেত্রফল বের করতে পারছি। এখানে যদি $A=(0,0)$ হয় তাহলে ক্ষেত্রফল হবে শুধু $$\frac{\left(x_2y_3-x_3y_2\right)}{2}$$

এখন কী বুঝতে পারছ আমরা কী করব?

আমরা আগে দেখেছিলাম, $[A_1A_2...A_n] = \sum_{i=1}^{n}\left[PA_iA_{i+1}\right]$, এখানে $A_{n+1}=A_1$।

মনে করি, $A_k=(x_k,y_k)$। তাহলে,

$\sum_{i=1}^{n}\left[PA_iA_{i+1}\right] =\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i$।

এটাকে আমরা লিখতে পারি,

$$=1/2 \left[ {\begin{array}{cc} x_1 & x_2 & ..... & x_n & x_1 \\ y_1 & y_2 & ..... & y_n & y_1 \\ \end{array} } \right]$$

আর এটাই হলো শু-লেস ফরমুলা। আমি শুরুতে বলতে চেয়েছিলাম কেন এই সুত্রের নাম শু-লেস।

এর কারণ হলো, গুণ করার দিক গুলা জুতার ফিতার মত ক্রস আকার নেয়।

Occasionally, the need arises to assign a sign to the area of a triangle, or more generally, a polygon. You may have once wanted to use the area formula $$[ABC]=[ABP]+[BCP]+[CAP]$$ for a point $P$ outside the triangle as well. (Another classic example, from physics, is calculating the work of a heat engine.)

One introduces the signed area of a (not self-intersecting) polygon $A_1A_2...A_n$ as the everyday area if $A_1,...,A_n$ are oriented counterclockwise (in the positive direction) along its perimeter, and the negative of this area if it is oriented clockwise (in the negative direction).

We'll now give another definition which is computationally more helpful and turns out to be equivalent to our first, more compact definition.

Integrals! For those who don't know yet, this is just the 'area under a function curve', or, well, in our case, we only need the area 'under a segment'. (Imagine a coordinate system.) For a segment between $(a,b)$ and $(c,d)$, this amount is defined to be $\frac{a+c}2\cdot (d-b)$.

Now for a polygon $A_1A_2...A_n$ with vertex $A_i$ at $(x_i,y_i)$, we define its area to be the sum of all the integrals of the segments $A_iA_{i+1}$ (where $A_{n+1}=A_1$). One may easily check that this gives just the same definition.

This gives us an area formula using coordinates!

$$[A_1A_2\dots A_n]_{\text{directed}}=\sum_{i=1}^n \frac{x_i+x_{i+1}}{2}\cdot (y_{i+1}-y_i)=$$ $$=\frac12 \sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1}-x_iy_i+x_{i+1}y_{i+1}-x_{i+1}y_i)=$$ $$=\frac12 \left(\sum_{i=1}^n x_iy_{i+1}-\sum_{i=1}^n x_{i+1}y_i\right).$$

This theorem is called the shoelace formula because if we arrange the $x_i$'s and $y_i$'s in two columns and connect those who we multiply and then sum, the resulting pattern resembles a shoelace.

Specifically, for $n=3$ this becomes

$$\frac12(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_2y_1-x_3y_2-x_1y_3),$$

or for those who know determinants,

$$\frac12 \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|,$$

which connects the Rule of Sarrus with the shoelace pattern.

This area formula is very helpful when dealing with coordinate geometry. Keep it in mind!

Can you convince yourself that the two signed area definitions are equivalent?

Give an algebraic criterion for points $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ and $(x_3,y_3)$ to be collinear.