উৎপাদকে বিশ্লেষণের কৌশলসমূহ

যেকোনো বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণে করা জন্য কোনো জেনারেল এবং সহজ উপায় নেই। তবে নিচু ঘাতের বহুপদী হলে আমরা কিছু টেকনিক কাজে লাগাতে পারি। চল এগুলার সবচেয়ে মৌলিকটা দিয়ে শুরু করা যাক।

হ্যাঁ, আমরা অনেক আগেই শিখেছি দুইটি বর্গের বিয়োগফলকে কিভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়। কিন্তু এটা কি জান যে এই একই আইডিয়া ব্যবহার করে আমরা আরো অনেক জটিল বহুপদীকেও বিশ্লেষণ করতে পারি? ভেবে দেখ, তুমি যদি কোনো একটি এক্সপ্রেশনকে $a^2-b^2$ আকারে নিয়ে আসতে পার, তাইলেই তোমার কাজ শেষ। তাহলে চল একটি উদাহরণ দেখা যাক।

এই সমস্যাটিতে আমরা আবার ফিরে আসব। এখন যদি পেরে থাক, তবে ভালই ! কিন্তু না পারলে চিন্তা করার কোনো কারণ নেই। আমরা আগে বর্গের ব্যবধান ব্যবহার করে কিছু সহজ বহুপদীর উৎপাদক বের করার চেষ্টা করি চল।

আমাদের পরের উদাহরণ (এটার সলু দিব, চিন্তা নেই) হলো একটি দ্বিঘাতিক বহুপদী।

$$x^2+10x-96$$

আমরা জানি যে দ্বিঘাতিক বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার আরও উপায় আছে। কিন্তু এসব করার খুবই এলিগেন্ট একটি উপায় আছে। উপরের প্রথম দুইটি টার্ম খেয়াল কর। দেখে কি কোনো বর্গের কথা মনে পরে যায়? নিশ্চয় $(x+5)^2=x^2+10x+25$ এর কথা মাথায় আসে! কিন্তু $25$ এর জায়গায় যে আমাদের আছে $-96$! তাহলে কি আমাদের এপ্রোচ ফেইল করল? মোটেই না! $25$ থেকে $121$ বিয়োগ করে দিলেই তো $-96$ পাওয়া যায়। এবার আমরা বর্গের ব্যবধান ব্যবহার করতে পারব।

$$\begin{equation} \begin{split} x^2+10x-96 & = (x^2+2\cdot 5\cdot x+25)-25-96 \\ & = (x+5)^2-121\\ & = (x+5)^2-11^2\\ & = (x+5+11)(x+5-11)\\ & = (x+16)(x-6) \end{split} \end{equation}$$

এবার নিচেরটা তুমি নিজেই কর।

$4x^2$ থেকে বোঝা যায় যে আমাদের $2x$ এর সাথে কিছু একটা যোগ করে বর্গ করা উচিৎ। $12x=2\cdot 2x\cdot 3$ থেকে সহজেই বোঝা যায় যে $3$ জোগ করা উচিৎ।

$$\begin{equation} \begin{split} 4x^2+12x-7 &=((2x)^2+2\cdot 2x\cdot 3 +9)-9-7\\ & = (2x+3)^2 - 4^2\\ & = (2x+7)(2x-1) \end{split} \end{equation}$$

এই উদাহরণটি কিন্তু আগের গুলোর মত না। কেন বল তো? কারণ এবার $x^2$ এর সহগ $12$, যেটি কোনো বর্গ না। তুমি চেলে অবশ্যই আগের $\sqrt12x$ দিয়ে উৎপাদক বের করতে পার। উত্তর একই আসবে। কিন্তু একটু সহজ করার জন্য এটাও করতে পার তুমি। $12$ কে ফ্যাক্টর করে বাইরে নিয়ে আস।

$$\begin{equation} \begin{split} 12x^2+7x+1 & = 12\left(x^2+\dfrac{7}{12}x+\dfrac{1}{12}\right)\\ & = 12\left(x^2 + 2\cdot \dfrac{7}{24}\cdot x + \left(\dfrac{7}{24}\right)^2 - \left(\dfrac{7}{24}\right)^2+\dfrac{1}{12}\right)\\ &=12\left(\left(x+\dfrac{7}{24}\right)^2-\left(\dfrac{1}{24}^2\right)\right)\\ \end{split} \end{equation}$$

বাকিটা বর্গের ব্যবধান দিয়ে তুমি আবার নিজেই করে দেখ! এবার চল প্রথম উদাহরণটিতে ফেরত যাই (শেষ পর্যন্ত!!)।

$$n^4+n^2+1$$

আমরা এর আগেরবারের মতই করব এটা।

$$\begin{equation} \begin{split} n^4+n^2+1 &= (n^2)^2+2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot n^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1\\ &=\left(n^2+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{3}{4} \end{split} \end{equation}$$

এবার কিন্তু আমাদের কোনো বর্গের ব্যবধান নেই!! এই এপ্রোচটা ফেইল করল। তাহলে আমরা আবার অ্যাটাক করি অন্য দিক দিয়ে। $n^4+n^2+1$ কিন্তু $(n^2+1)^2$ এর খুবই কাছাকাছি। তবে এটাই চেষ্টা করা যাক।

$$\begin{equation} \begin{split} n^4+n^2+1 &=(n^2)^2+2n^2+1 - n^2\\ &=(n^2+1)^2 -n^2\\ &=(n^2+n+1)(n^2-n+1) \end{split} \end{equation}$$

এবং আমাদের কাজ শেষ!! সুতরাং বুঝতেই পারছ যে এই টেকনিকটি অনেক ইউজফুল। আমরা আরও প্রবলেম দেখব নিচে, কিন্তু আপাতত আরও কিছু টেকনিক নিয়ে আলোচনা করা যাক।

এখন আমরা যেই টেকনিকটা শিখব, সেটা হচ্ছে Grouping। এটা অনেকটা কমন সেন্স। আমাদের যেই টার্ম গুলো থেকে আমরা ফ্যাক্টর বের করে আনতে পারব বলে মনে হয়, সেগুলোকে পাশাপাশি রাখব। উপরের এক্সপ্রেশনটা থেকে আমরা প্রথম দুইটা টারম থেকে যদি $x^2$ বের করে আনি, তাহলে বাকি থাকে $x-1$, যেটা আমাদের অবশিষ্ট টার্ম গুলার সাথে মিলে।

$$\begin{equation} \begin{split} x^3-x^2+x-1 &= (x^3-x^2)+(x-1)\\ &= x^2(x-1)+(x-1)\\ &= (x^2+1)(x-1) \end{split} \end{equation}$$

এবার তুমি নিজেই $x^5-x^4+x^3-x^2+x-1$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

এই টেকনিকটি সাধারণত আরও কিছু টেকনিকের সাথে কাজে খাটানো লাগে। এর মধ্যে প্রধান কৌশল হল টার্ম গুলোকে আলাদা করে লেখা। কথায় বোঝাতে গেলে খুবই কষ্ট হবে এটা। তাই চল একটা ভালো উদাহরণ দেখি।

$$x^3+6x^2y+11xy^2+6y^3$$

আমরা যদি আগের বারের মতই প্রথম দুইটি টার্ম থেকে $x^2$ বের করে নেই, তাহলে আসে $x^2(x+6y)+y^2(11x+6y)$। এখান থেকে আর কিছু করা সম্ভব না। তাই বের করতে হলে অন্য কোনো ভাবেই বের করতে হবে। চল প্রথম তিনটা টার্ম থেকে $x$ কমন নেই। তাহলে আসে $$x(x^2+6xy+11y^2)+6y^3$$। খেয়াল কর যে ব্র্যাকেটের ভিতরে যা আছে, তাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা না গেলেও $x^2+2\cdot x\cdot 3y + 9y^2 +2y^2$ আকারে লেখা যায়। চল এই পদ্ধতিতে আমরা উৎপাদকে বিশ্লেষণের চেষ্টা করি।

$$\begin{equation} \begin{split} x^3+6x^2y+11xy^2+6y^3 &= x(x^2+6xy+11y^2)+6y^3 \\ &=x(x^2+2\cdot x\cdot 3y + 9y^2 +2y^2)+6y^3 \\ &=x\left((x+3y)^2+2y^2\right)+6y^2 \\ &=x(x+3y)^2+2xy^2+6y^2 \\ &=x(x+3y)^2+2y^2(x+3y) \\ &=(x+3y)\left(x(x+3y)+2y^2\right) \\ &=(x+3y)(x^2+xy+2xy+2y^2) \\ &=(x+3y)(x+2y)(x+y) \end{split} \end{equation}$$

বর্গ বা কিউব পূরণ করার আইডিয়াটা সব সময়ই কাজে আসে - এটার সাথে Grouping এর টেকনিকটা ব্যবহার করে অনেক সমস্যাই করা যায়। আপাতত এখন পর্যন্ত ব্যবহার করা টেকনিক গুলো ব্যবহার করে নিচের প্রবলেম গুলো করার চেষ্টা কর।

$আমার$