বৃত্তের ব্যাসের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ(থ্যালেসের উপপাদ্য)

মনে করি আমাদের কাছে একটা বৃত্ত আছে এবং $AB$ ওই বৃত্তের একটা ব্যাস। $AB$ ব্যাস বৃত্তটিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে। এদেরকে অর্ধবৃত্ত বলে। অর্ধবৃত্তস্থ যেকোনো কোণের মান এক সমকোণ বা $90^{\circ}$. অর্থাৎ, বৃত্তটির পরিধির ওপর যেকোনো বিন্দু $P$ এর জন্য, $\angle APB=90^{\circ}$. এটিই থেলস(Thales) এর উপপাদ্য।

এখন আমরা উপপাদ্যটি প্রমাণ করব। প্রমাণ খুবই সোজা। নিজে নিজে প্রমাণ করার চেষ্টা কর। তারপরে নিচের হিন্ট দেখো।

এখানে "একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ, কেন্দ্রস্থ কোণের সমান" ও "বৃত্তের সকল ব্যাসার্ধ পরস্পর সমান এবং ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$" এই দুটি ব্যবহার করে দুটি আলাদা প্রমাণ উপস্থাপন করা হলো।

প্রমাণ ১: ধরি $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ একটি ব্যাস এবং $C$ বৃত্তের পরিধির ওপর $A,B$ ভিন্ন অন্য যেকোনো একটি বিন্দু। আমরা জানি, কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ। এখানে কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle AOB$ এর মান $180^{\circ}$(সরলকোণ). তাহলে বৃত্তস্থ কোণ $\angle ACB=\dfrac {180^{\circ}} {2}=90^{\circ}$.

প্রমাণ ২: আবার ধরি $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ একটি ব্যাস এবং $C$ বৃত্তের পরিধির ওপর $A,B$ ভিন্ন অন্য যেকোনো একটি বিন্দু।

$A,C$; $O,C$ এবং $B,C$ যোগ করি।

এখন যেহেতু $\triangle AOC$ এ $AO=OC$, সুতরাং, $\angle ACO=\angle OAC=\angle BAC$.(যেহেতু একটি ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান)

আবার যেহেতু $\triangle BOC$ এ $BO=OC$, সুতরাং, $\angle OCB=\angle CBO=\angle CBA$.(যেহেতু একটি ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান)

আবার ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ অর্থাৎ $\triangle ABC$ এ $\angle BAC+\angle CBA+\angle ACB=180^{\circ}$.

বা $\angle ACO+\angle OCB+\angle ACB=180^{\circ}$(যেহেতু আমরা প্রমাণ করেছি যে $\angle BAC=\angle ACO$ এবং $\angle ABC=\angle OCB$)

আবার, $\angle ACO+\angle OCB=\angle ACB$.

অর্থাৎ $\angle ACB+\angle ACB=180^{\circ}$

বা, $2\angle ACB=180^{\circ}$

বা, $\angle ACB=90^{\circ}$.

As you may know, the measure of an inscribed angle is half the measure of the arc. A diameter crosses a $180º$ arc, so what is the measure of the inscribed angle on the diameter? Yup, it is $\frac{180}{2} = 90º$. So, it's simply a right angle!

Read Lockhart's Lament, pages 20 to 22. It gives a charming nonstandard proof of the fact that inscribed angles on a diameter are right angles.

(The whole article is really good too, if you have time! :)