মধ্যবর্তী মান উপপাদ্য

মধ্যবর্তী মান উপপাদ্য (বা সংক্ষেপে IVT) হল অবিচ্ছিন্ন ফাংশন সংক্রান্ত একটা উপপাদ্য। খুব সহজভাবে বললে উপপাদ্যটা বলে, যদি কোনো অবিচ্ছিন্ন ফাংশন দুইটা মান গ্রহণ করে, তাহলে ফাংশনটা এর মাঝের সব মানই গ্রহণ করবে।

তাহলে বুঝাই যাচ্ছে এই উপপাদ্যটা বুঝতে হলে আমাদের প্রথমে অবিচ্ছিন্ন ফাংশন সম্পর্কে জানতে হবে।

এখন মনে কর তোমার কাছে একটা অবিচ্ছিন্ন ফাংশন $f(x)$ আছে। তুমি জান যে $f(1)=-3$ আর $f(2)=3$। যেহেতু ফাংশনটা অবিচ্ছিন্ন, তার মানে এর মাঝে কোনোরকম "গ্যাপ" নেই। সুতরাং তুমি আশা করবে $1$ আর $2$ এর মাঝে কোনো একটা মানের জন্য $f(x)=0$ হবে। IVT আসলে সেই কথাটাই বলে। এই কথাগুলোই আরেকটু ফর্মালি বলতে চাইলে নিচের মত করে বলতে হবে।

মধ্যবর্তী মান উপপাদ্য (Intermediate Value Theorem):

ধরি, $f(x)$, $[a,b]$ ব্যবধিতে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন। তাহলে $f(a)$ আর $f(b)$ এর মাঝে সকল $y_0$ এর জন্য কোনো না কোনো $x_0 \in [a,b]$ আছে যেন $f(x_0)=y_0$ হয়।

খেয়াল কর, IVT প্রযোজ্য হতে হলে তোমার ফাংশনটাকে কিন্তু অবিচ্ছিন্ন হতে হবে। ফাংশন যদি অবিচ্ছিন্ন না হয়, তাহলে কিন্তু IVT খাটবে না। এ ব্যাপারে একটু সাবধান থাকতে হবে। এর জন্য নিচের উদাহরণটা একটু দেখ।