বাস্তব সংখ্যা কী?

সংখ্যা আমাদের অনেক পরিচিত একটি শব্দ । যত না সংখ্যা শব্দটি পরিচিত তার চাইতে এর ব্যবহার আমাদের কাছে আরও অনেক বেশি পরিচিত । একেবারে দুধের শিশুও সংখ্যার ব্যবহারটা জানে ।

আমার যখন দুই বছর তখনকার কাহিনী , আমি একবার আমার এক কাকাকে বলেছিলাম , ‘কাগু কাগু , আমি কি চারটা বিয়ে করতে পারব ? !’

কি ভয়ঙ্কর কথা !

যাই হোক এখানে মজার বিষয় হচ্ছে আমি ঐ ছোট্ট বয়স টুকুতেও আসলে সংখ্যা জিনিসটা ব্যবহার করতে পারতাম ।

কিন্তু সংখ্যা কি ?

যদি কঠিন করে বলি তবে , ‘অ্যাঁ (মাইন্ড করবেন না প্লিজ , এটা আমার মুদ্রা দোষ ) কোনও কিছুর এককের সাথে যেই সহগটি বসে তাই সংখ্যা অথবা, কোনও কিছু আসলে তার এককের কত গুন সেই জিনিসটাই হচ্ছে সংখ্যা ’ ।

এবার সহজ করে একটা উদাহরণ দিয়ে বলি , আপনি আর আপনার বন্ধু । আপনারা দুই জন হচ্ছেন বিশ্ব চোর । তো আপনার বন্ধু একদিন আপনাকে বলল , ‘দোস্ত , শোন । ঐ মিউজিয়ামে একটা স্বর্ণের লাঠি আছে । তুই মাইপা আসবি লাঠিটা কত টুকু লম্বা । বেশি লম্বা বা বড় না হইলে চুরি করুম না , কারন আমরা এহন বিশ্ব চোর । আমাগো একটা ইজ্জত আছে , ছোট খাটো জিনিসতো আর চুরি করা যায় না ’ । আপনি গেলেন স্বর্ণের লাঠিটা মাপতে । কিন্তু কি দিয়ে মাপবেন ? মাপবার তো কিছুই নেই আশেপাশে । এখন আপনি আপনার হাতটাই মাপার কাজে ব্যবহার করা শুরু করে দিলেন । লাঠিটা হচ্ছে আপনার হাতের ১০ হাত ।

লাঠির দৈর্ঘ্য = ১০ হাত ।

আপনি যে লাঠির দৈর্ঘ্য মাপছেন , এখানে দৈর্ঘ্যের একক হচ্ছে ‘হাত’ । অর্থাৎ, আপনার হাতটাই একক হিসেবে ব্যবহার হয়েছে । আমরা সংখ্যা বলতে কি বুঝিয়েছি ? কোনও কিছু তার এককের কত গুন তাই তো সংখ্যা । লাঠিটা তার এককের ১০ গুন, মানে ১০ হাত । তাহলে এখানে সংখ্যা হচ্ছে ১০ !

আসলে সংখ্যা কিংবা এর ব্যবহার এটাই যে , যেকোনো জিনিস মাপতে আমাদের একটা একক ধরে নিতে হয় , তো ঐ জিনিসটা সেই এককের কতগুণ তাই সংখ্যা । সংখ্যার ব্যবহার ও এটাই।

সংখ্যা আসলে দুই প্রকারঃ

১. বাস্তব সংখ্যা ।

২. জটিল সংখ্যা ।

ঋণাত্মক সংখ্যার মূল ব্যতীত সমস্ত সংখ্যাই বাস্তব সংখ্যা। কেননা ঋণাত্মক সংখ্যার মূল আমাদের বাস্তব চিন্তা দ্বারার সাথে খাপ খায় না, এবং এর সঙ্গত কারণও রয়েছে বটে। কারণ আমরা জানি সমস্ত সংখ্যার আগেই + বা - চিহ্ন থাকে । যদিও + থাকলে আমরা সেটা লিখে দেখানর প্রয়োজন বোধ করি না। এখন আপনি যদি কোন ঋণাত্মক সংখ্যার মূল বের করতে চান তখন কি হয় একটু ভাবুন তো যেমন (-৪) এই সংখ্যার মূল আপনি কিভাবে পাবেন যখন - আর - গুন করলে হয় + , অন্য দিকে + আর + গুন করলে হয় + , তার মানে + বা - কোনটির বর্গ মূলেই আপনি মাইনাস পাবেন না, চিহ্ন সে যাই হোক । কারণ চিহ্নের বর্গ হিসেবে শুধু + ই হয়, অর্থাৎ পৃথিবীতে একমাত্র বর্গ চিহ্ন হচ্ছে + , এ বাদে আর কেউ নাই , তখন আপনি -৪ এর বর্গের কথা ভাবেন কি করে ?

বাস্তব সংখ্যা নিয়েই আমাদের আজকের আলোচনা । তাই জটিল সংখ্যা নিয়ে আজ আর কিছু বললাম না । জটিল সংখ্যা নিয়ে আজ চুপ ছিলাম বলে এই ভাববেন না যে সবসময়ই চুপ থাকব। সেটা নিয়ে বলব অন্য এক লিখায় । সাবধান ! বাস্তব সংখ্যা নিয়ে একটা ছবি দিলাম -

বাস্তব সংখ্যার অসংখ্য ডাল-পালা বেরিয়েছে , যা আমরা উপরেই দেখতে পাচ্ছি ।

What is a Real Number?

Maybe you have already seen numbers like $1, 2, 3, 4, 100, 15.99, 4.29$ in daily life. In math classes, you might encounter fractions, other kinds of decimals, and radicals. Combined together, we already have a pretty diverse world of numbers: $5, -0.618, 3\sqrt{29}, \frac{4}{7}, -1$...

What do these numbers have in common? Yep, you guessed it—they are all real numbers!

The following illustration shows the further categorization of the real number system.

Understanding Real Numbers

Here are some common ways to understand what a real number is:

• A real number is any number that is not imaginary, meaning the square of it must be a positive real number.
• Every real number has an "order". This means if we take two real number $x$ and $y$, exactly one of these is true: $x<y, x=y,$ or $x>y$ (see "Compare Numbers on A Number Line" below).
• Every rational and irrational number is real. Any real number is either rational or irrational, but not both.

Number Line Representation

The mathematical definition of a real number is any value that can be found on the number line.

On the other hand, a number line is a line in which each point is a real number—a bit like a infinitely long ruler where each different point on it represent a different length.

Number Line: As Accurate As We Want

However, you can't "zoom in" on your ruler infinitely. For example, on your ruler, if the smallest distance between two ticks is $\frac{1}{16}$ inches, you cannot measure an object more accurately than $\frac{1}{16}$ inches, which is about $0.0625$ inches.

On a real line, you can zoom in as much you want to, and also have as many digits after the decimal point as you want to. The number $0.57721566490153286060...$, known as Euler-Mascheroni Constant, is one of the real numbers with infinitely many digits after the decimal point.

Comparing Numbers on A Number Line

When a number $A$ is on the right of another number $B$ on this number line, $A$ is larger than $B$. Take any two real numbers, $x$ and $y$, and treat them as points on the number line. These points follow the rule that states real numbers have an order where $x<y, x=y,$ or $x>y$.

The number line of real numbers is infinitely long, but does not include $+\infty$ and $-\infty$. Real numbers are represented in set theory by the symbol $\mathbb{R}$.

Real Number Properties

The following sets of numbers are all part of the real number system:

• Natural numbers $(\mathbb{N})$: Positive whole numbers.$$(1, 2, 3, ...)$$
• Whole Numbers $(\mathbb{W})$: Natural numbers and zero. $$(0, 1, 2, 3, ...)$$
• Integers $(\mathbb{Z})$: All whole numbers and negative numbers that are not decimals. $$(...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)$$
• Rational Numbers $(\mathbb{Q})$: Fractions, integers, decimals that end, and repeating decimals. $$\text{ex: }\frac {1}{2}, 0.45, 0.3333333$$
• Irrational Numbers $(\mathbb{R\backslash Q})$: Decimals that go on forever. $$\text{ex: }\sqrt{3}, \pi, -\sqrt{11}$$

Real Number Properties and Operations

Real numbers have some really cool properties, like the reflexive, symmetric, and transitive properties. Also:

• The sum of two real numbers is always a real number.
• The difference of two real numbers is always a real number.
• The product of two real numbers is always a real number.
• The quotient of two real numbers is always a real number.

Really, any operation you do to two real numbers will give a real number. The only problem is that you can't take the square root of a negative real number.

(Video) What's a Real Number?

Here's a YouTube video by Don't Memorise that talks about the real number system.

$\large{\text{Summary}}$

Any number that can be put on a number line is a real number.

Integers like $-2$, rational numbers/decimals like $0.5$, and irrational numbers like $\sqrt{2}$ or $\pi$ can all be plotted on the number line, so they are real. Better yet, they can be ordered. That means if we plot any two real numbers on the number line, then we know which one is to the left.