Using Primes and Local Analysis

মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যার $1$ এবং ঐ সংখ্যা টি ছাড়া অন্য কোন উৎপাদক থাকে না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক থাকে মাত্র দুইটি। $1$ এবং সে নিজে। সংখ্যাতত্ত্বের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো এটা। মৌলিক সংখ্যা র কিছু বৈশিষ্ট্য রয়েছে যেগুলা আমাদের খুবই দরকার। কিছু এখানে আলোচনা করা হলোঃ

১। মৌলিক সংখ্যা র কেবল এবং কেবল মাত্র দুইটি উৎপাদক থাকবে।

২। একমাত্র জোড় মৌলিক সংখ্যা হলো $2$। বাকি যেকোন জোড় সংখ্যার আরেকটি উৎপাদক থাকবে ২। তাই অন্য জোড় সংখ্যা কখন ই মৌলিক হতে পারে না। $2$ সব চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা ও বটে।

৩। সবচেয়ে ছোট বিজোড় মৌলিক সংখ্যা হলো $3$।

৪। দুইটি ক্রমিক সংখ্যা কখন ও মৌলিক হতে পারে না। কারণ দুইটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে একটি জোড় থাকবেই। ব্যতিক্রম শুধু $2,3$. ৫। সকল বেজোড় মৌলিক সংখ্যাকে আমরা $4k+1$ অথবা $4k-1$ আকারে লিখতে পারি।

৬। $3$ থেকে বড় সকল মৌলিক সংখ্যাকে $6k+1$ অথবা $6k-1$ আকারে লেখা যায়।

শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যার এই সকল বৈশিষ্ট্যকে কাজে লাগিয়ে আমরা অনেক বড় বড় অংকের সমাধান করতে পারি। তাই এইসকল বৈশিস্ট্য শুধু জানলেই চলবে না। এগুলার ব্যবহার ও শিখতে হবে। এই জন্য প্রচুর অনুশীলনের বিকল্প নেই।

If $k$ is odd, then prove that $$1+2+\ldots+n|1^k+2^k+\ldots+n^k$$

Let $a,b,c,d,e$ be distinct positive integers satisfying $$a^4+b^4=c^4+d^4=e^5.$$ Show that $ac+bd$ and $ad+bc$ are both composite numbers.

Link to What are $p$-adic valuations and analysis?