Огляд розв'язування квадратних рівнянь

Нехай за умовою дано квадратне рівняння $ax^2 + bx + с = 0$. Розв'язати таке квадратне рівняння означає знайти всі числа $x$ такі, що рівність стає правильною.

Для розв'язання квадратного рівняння є багато способів:

1. У випадку простих рівняннь, наприклад, $x^2 - 1= 0$ можно одразу сказати, що рівняння рівносильне $x^2 = 1$, а тому відповідь: $x = \pm 1$

2. Користуючись тим фактом, що квадратне рівняння має не більше двох дійсних коренів можно вгадати обидва корені рівняння. Наприклад, у рівнянні $x^2 - 3x + 2 = 0$ можно вгадати, що $1$ та $2$ - корені. Дійсно, підставляючи $x = 1$ маємо: $1 - 3 + 2 = 0$ та $x = 2$: $4 - 6 + 2 = 0$. Отже корені $x = 1$ та $x = 2$.

3. Розклад на множники: $x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2 = (x^2 - x) - 2(x-1) =$ $= x(x-1) - 2(x-1) = (x-1)(x-2)$, а отже корені $x = 1$ та $x = 2$.

4. Найбільш загальний метод: формула для коренів квадратного рівняння $ax^2 + bx + с = 0$:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

На перший погляд ця дуже велика та страшна формула лякає, але тільки подумай - за допомогою цієї формули ти можешь розв'язати будь-яке рівняння, просто підставивши числа у вираз вище! Все, що потрібно, це потренуватися розв'язувати декілька квадратні рівнянння і все стане дуже просто та зрозуміло! Не будемо гаяти часу та перейдемо до задач, щоб потім розповісти дідусю, як швидко та легко ти тепер вмієшь розв'зувати будь-яке квадратне рівняння.

1. Це рівняння не виглядає дуже простим, а тому скористатися першим методом та одразу записати корені навряд чи вдасться.

2. Зрозуміло, що якщо ви якимось чином вгадали корені $x = 2$ та $x = -3$, то підставити їх у рівняння не важко: $x = 2: \; 4 + 2 - 6 = 0$ та $x = -3: \; 9 - 3 - 6 = 0$.

3. Спробуємо скористатися третім методом на розкласти данний вираз на множники:

$x^2 + x - 6 = x^2 - 2x + 3x - 6 = x(x-2) + 3(x-2) = (x+3)(x-2)$, а отже корені $x = 2$ та $x = -3$.

1. Найбільш безпечний (але не найбільш красивий) метод - це, звичайно, формула для коренів квадратного рівняння:

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 - 4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1} = \frac{-1\pm\sqrt{25}}{2} = \frac{-1\pm5}{2} = \{2, -3\}$$

Ще один приклад s ви - мастер квадратних рівнянь!

Це рівняння вже точно не виглядає простим, а тому одразу скористаємося формулою для коренів квадратного рівняння:

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 - 4\cdot6\cdot(-12)}}{2\cdot6} = \frac{-1\pm\sqrt{289}}{12} = \frac{-1\pm17}{12} =$$ $$= \left\{\frac{16}{12}, -\frac{18}{12}\right\} = \left\{\frac43, -\frac32\right\}$$