পরিকেন্দ্র ও পরিবৃত্ত

আচ্ছা একটা প্রশ্ন দিয়ে শুরু করি,

হ্যাঁ, তুমি অসংখ্য বৃত্ত আঁকতে পারবে যেন তা এই দুই বিন্দু দিয়ে যায়। কীভাবে? আচ্ছা, ওই দুই বিন্দু দিয়ে গঠিত রেখাংশের লম্ব সমদ্বিখন্দক এর ওপর একটা বিন্দু নাও। এই বিন্দু কে কেন্দ্র করে ওই দুই বিন্দুর যেকোন একটির দূরত্ব ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকলেই তা অপর বিন্দুগামী হবে। কেননা লম্ব সমদ্বিখন্দকের ওপর একটি বিন্দু থেকে ওই দুই বিন্দুর দূরত্ব সমান।

এবার তাহলে বল তো,

তিনটি বিন্দু দেওয়া থাকলে সেগুলো দিয়ে যায় এমন শুধুমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা সম্ভব। এই বৃত্তটিকে বলে ওই বিন্দু তিনটি দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের পরিবৃত্ত। আর পরিবৃত্তের কেন্দ্রকেই বলে পরিকেন্দ্র।

কারও কারও মনে খটকা লাগতেই পারে - যেকোন ত্রিভুজের তিন শীর্ষবিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত আঁকা কি সবসময় সম্ভব? উত্তরটি হচ্ছে, আসলেই সম্ভব এবং এবার আমরা এটি এঁকে একদম প্রমাণ করে দেখাব।

আমরা তো দুই বিন্দু দিয়ে বৃত্ত আঁকতে জানলাম। এখন, কাছাকাছি উপায়ে আমরা পরিবৃত্ত আঁকব। ধরে নেই, $\triangle ABC$ এর $AB$ ও $BC$ এর লম্ব সমদ্বিখন্দক $O$ বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। আমরা জানি, $AO=BO$ এবং $BO=CO$। অর্থাৎ, $AO=BO=CO$। তাহলে, $O$ কে কেন্দ্র করে $AO$ এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকলেই তা তিন বিন্দু দিয়েই যাবে। তাহলে, $O$ বিন্দুটি হলো আমাদের পরিকেন্দ্র। আর পরিবৃত্ত তো দেখাই যাচ্ছে। :D

পরিশেষে, গুড লাক এবং জিও অন।

The circumcircle is a circle that, for a triangle, has all three vertices on its circumference. The circumcenter of a triangle is the center of this circle.

But how do we know a circumcenter exists for every nondegenerate triangle?

Draw the perpendicular bisectors of $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$. They will intersect at a point; call it $O$. (Intuitively, you can see that if they don't intersect, the triangle will be degenerate. We won't prove this here, but we will leave it to you as an exercise.)

Since $O$ lies on perpendicular bisectors, we have $\overline{OA} \cong \overline{OB}$ and $\overline{OB} \cong \overline{OC}$, or $\overline{OA} \cong \overline{OB} \cong \overline{OC}$. Therefore, $O$ is equidistant from each of the three vertices of the triangle. But the locus of points a given distance away from a point is a circle! So we can draw a circle through the points, where $O$ is the center:

We're going to set out today to show that for every triangle $ABC$, there is a circle that goes through all 3 points! This is called the circumcircle. To find the circle, it's best to start by finding the center, the circumcenter, which is normally called $O$. Since $O$ is the center of the circle, $OA = OB = OC$. Let's find $O$!

Here's the triangle $ABC$ to look at.

Good! The points $X$ that satisfy $XB = XC$ are exactly those that are on the perpendicular bisector of $BC$, or the line perpendicular to $BC$ that passes through the midpoint.

A circle centered at $B$ through the midpoint of $AB$.

@ Draw the circle out! Does it look like every point $Y$ on this circle satisfies $YA = YB$?

Once again, these points are the exactly those on the perpendicular bisector of $AB$.

$O$ is on both perpendicular bisectors because $OA = OB$ AND $OB = OC$. So $O$ is on both lines! So $O$ is exactly where the lines intersect!

We've used the sides $AB$ and $BC$ to draw perpendicular bisectors, but not $AC$ yet! But I claim that in fact, $O$ also lies on the perpendicular bisector of $AC$. That is, all 3 perpendicular bisectors pass through a single point!

Why does $O$ pass through the perpendicular bisector of $AC$ also? When you think you have an answer, continue.

This is because $OA = OB$, and $OB = OC$, so $OA = OC$ also! Since $OA = OC$, it also lies on the perpendicular bisector of $AC$. Finally, since $OA = OB = OC$, there is a circle centered at $O$ passing through $A, B, C$. This is how you find the circumcenter and circumcircle in a triangle.