একটি রেখার সমীকরণ

হ্যালো! :D

ওয়েল, এই আর্টিকেলের শিরোনাম কী? "একটি রেখার সমীকরণ"। কেমন যেন লাগছে না? রেখা হল জ্যামিতির সাথে রিলেটেড একটি বিষয়, আর সমীকরণ হল বীজগণিতের সাথে রিলেটেড। এই দুইটি জিনিস কীভাবে মিশতে পারে? কীভাবে দুই দুনিয়ার দুইটি বিষয় - জ্যামিতি ও বীজগণিত একত্রিত হতে পারে? এটাই তো কার্তেসীয় জ্যামিতির মজা! যেখানে আমরা এই দুইটি বিষয়কে নিয়ে একসাথে কাজ করতে পারি। ব্যাপারটা কতটা মজার আশা করি তোমরা এই আর্টিকেল পড়া শেষে বুঝতে পারবে। :)

আচ্ছা, মনে কর তোমাদের কাছে দুইটি বিন্দু – $A(2,3), B(4,6)$ দেওয়া আছে। এখন দেখ, নিশ্চয় আমরা এমন একটি সরলরেখা পাব যেটি এই দুইটি বিন্দু দিয়ে যায়। তো এই রেখাটির নাম দিলাম $L$।

আচ্ছা, $L$ রেখাটির উপর একটি বিন্দু $P(x,y)$ বিবেচনা কর। এখন একটা জিনিস লক্ষ কর, $A,B,P$ বিন্দু তিনটি একই সরলরেখা $L$ এর উপর অবস্থিত। তার মানে যদি আমরা তিনটি রেখা $AP, PB, AB$ বিবেচনা করি তবে সকল ক্ষেত্রেই ঢাল সমান হবে (অর্থাৎ $\dfrac{3}{2}$), কেননা তারা তো একই রেখা $L$ এর-ই অংশ! চিত্রের মাধ্যমে দেখা যাক ব্যাপারটা (চিত্র - $1$)।

তাহলে,

$AP$ রেখার ঢাল = $AB$ রেখার ঢাল

বা, $\dfrac{y - 3}{x - 2} = \dfrac{3}{2}$

বা, $y = \dfrac{3}{2}x$

একই ভাবে $PB$ ও $AB$ রেখার ঢাল তুলনা করলেও একই সমীকরন পাব (তোমরা নিজেরা চেক করে দেখ)।

এই যে আমরা একটি সমীকরণ পেলাম, $y = \dfrac{3}{2}x$ – এটিই হল সরলরেখা $L$ এর কার্তেসীয় সমীকরণ। এই সমীকরণটি দিয়ে আমরা আমাদের $L$ রেখাটিকে প্রকাশ করতে পারব। যে সকল বিন্দুর স্থানাঙ্ক এই সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে সেসকল বিন্দু $L$ রেখার উপর অবস্থিত হবে। খেয়াল করলে দেখবে যে সমীকরণটি $x$ এবং $y$ এর একঘাত সমীকরণ এবং এটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। তাই নিঃসন্দেহে বলা যায় $x$ এবং $y$ এর একঘাত সমীকরণ সবসময় একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। আমি তোমাদেরকে পরামর্শ দিব যাতে তোমরা এরকম চলকের মাধ্যমে বিভিন্ন বিন্দু নিয়ে তাদের ঢাল নিয়ে খেল, অনেক মজা পাবে এবং ঢাল আসলেই কতোটা মজার একটি জিনিস তা উপলব্ধি করতে পারবে।

তো এবারে কাজের কথায় আসি। সাধারণত উলম্বিক নয় এমন রেখার সমীকরণকে $y = mx + c$ আকারে প্রকাশ করা হয়। যেখানে $m$ রেখাটির ঢাল এবং $c$ হল $y$-অক্ষের ছেদক, অর্থাৎ $c$ হল যে বিন্দুতে সরলরেখাটি $y$ অক্ষকে ছেদ করে। যেহেতু এই সমীকরণটি বার বার ব্যবহার করতে হবে, তাই এটির বা এই আকারের সমীকরণের একটা নাম দেওয়া যাক – ‘প্রাণপ্রিয়’ সমীকরণ।

চল, এই সমীকরণটির শুদ্ধতা নিয়ে একটু আলোচনা করি। আচ্ছা, সমীকরণটিতে $x = 0$ বসালে, $y = c$ হবে। অর্থাৎ $x = 0$ হলে তো রেখাটা $c$ বিন্দুতে $y$ অক্ষকে ছেদ করবে, এটিই তো $y$-অক্ষের ছেদক! আবার $x = 1$ হলে কী হবে? $y = m + c$ হবে। তার মানে $(0, c)$ এবং $(1, m + c)$ বিন্দু দুইটি আমাদের সমীকরণের সরলরেখার উপরস্থ দুইটি বিন্দু। তাহলে বিন্দু দুইটির মাধ্যমে ঢাল কত হবে? ঢাল হবে, $m = \dfrac{m + c - m}{1 - 0} = m$, Bingo! মনে রাখতে হবে যদি আমাদের প্রাণপ্রিয় সমীকরণে $c$ বা কোনো ধ্রুব পদ না থাকে, তাহলে $c = 0$ ধরে নিতে হবে এবং $mx$ না থাকলে $x = 0$ ধরে নিতে হবে।

তো আশা করি এখন আর সমস্যা নাই, তাই এখন এই সমীকরণটি ব্যবহার করে কিছু প্রব্লেম সল্ভ করব।

$A(3,4)$ ও $B(6,7)$ বিন্দুদ্বারা সংযোগকারী রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

আচ্ছা সমীকরণ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আমাদেরকে কী কী জানতে হবে? হ্যাঁ, $m$ বা ঢাল এবং $c$ বা $y$-অক্ষের ছেদকের মান। এক্ষেত্রে তো ঢাল বের করা কঠিন কিছু না।

কিন্তু $y$-অক্ষের ছেদকের মান কীভাবে বের করব? আচ্ছা $A$ ও $B$ তো আমাদের রেখার উপরস্থ দুইটি বিন্দু। তাহলে নিশ্চয় বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্কের ভুজ ও কোটির মান আমাদের সমীকরণকে সিদ্ধ করবে। তো $A$ বিন্দুর মান প্রাণপ্রিয় সমীকরনে বসিয়ে দেখি কী পাই। অর্থাৎ $x = 3$ এবং $y = 4$ বসাতে হবে। তাহলে আমরা পাব, $4 = 1.3 + c$ বা, $c = 1$। একইভাবে $B$ বিন্দু বিবেচনা করলেও $c = 1$ আসবে। তো আমরা $m$ এবং $c$ এর মান জেনে গেলাম।

এবারে আরেকটি প্রব্লেম। $A(-1,3)$ এবং $B(5,15)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষকে $P$ ও $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে। $PQ$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

তো $PQ$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করতে আমাদেরকে $PQ$ রেখার $m$ ও $c$ এর মান জানতে হবে এবং $m$ এর মান জানতে হলে আমাদেরকে $P$ ও $Q$ বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক জানতে হবে। এটা জানার জন্য আমরা $A$ ও $B$ বিন্দুকে ব্যবহার করতে পারি। কিন্তু কীভাবে? আচ্ছা, $P$ ও $Q$ বিন্দু দুইটি তো $AB$ রেখার উপরস্থ দুইটি বিন্দু। তাহলে আমরা যদি আব রেখার সমীকরণ বের করতে পারি তাহলে সেখান থেকে $P$ ও $Q$ এর স্থানাঙ্ক জানতে পারব। তো পূর্বের উদাহরণের মতো করে $AB$ রেখার সমীকরণ বের করলে আমরা পাব, $y = 2x + 5$। এখন দেখ, রেখাটি $P$ বিন্দুতে $x$ অক্ষে ছেদ করে। তার মানে, এক্ষেত্রে $y = 0$ হবে। তো প্রাপ্ত সমীকরণে $y = 0$ বসালে $x = -\dfrac{5}{2}$ আসবে। অর্থাৎ $P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-\dfrac{5}{2}, 0)$। এভাবে $Q$ এর স্থানাঙ্ক পাব $(0,5)$। তো আর দেরি কেন? $P$ ও $Q$ এর স্থানাঙ্ক যখন পেয়েই গেলা, একইভাবে তাদের সমীকরণটি নির্ণয় করে ফেল। $y = 2x + 5$ আসছে না? আরেহ, এটি তো আগেরটির মতোই! ওয়েট...$P$ ও $Q$, $AB$ রেখার উপর দুইটি বিন্দু না? তাহলে নিশ্চয় $PQ$ রেখাটি এবং $AB$ রেখাটি একই রেখা। তার মানে তো তাদের সমীকরণ একই-ই হবে! উফফফ, আমি এতো বোকা কেন? -_-

তো নেক্সট প্রব্লেম। $y = 3x + 4$ এবং $3x + y = 10$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে।

তো ১ম রেখার নাম $B$ এবং ২য় রেখার নাম $A$ দিলাম। এক্ষেত্রে আমরা যেটা করতে পারি তা হল, $x$ ও $y$ এর কিছু একটা মান বসিয়ে রেখা দুইটি এঁকে তারা যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে পারি (চিত্র - $2$)।

এক্ষেত্রে $B$ হতে দুইটি বিন্দু $(-1, 1)$ ও $(0, 4)$ এবং $A$ হতে দুইটি বিন্দু $(3,1)$ ও $(2,4)$ বসিয়ে দেখা যাচ্ছে যে রেখা দুইটি $O$ বিন্দুতে ছেদ করেছে যার স্থানাঙ্ক $(1, 7)$। এটাই আমরা চাচ্ছিলাম। কিন্তু আমরা এটাকে আরো স্মারটলি বের করতে পারব। আচ্ছা সাধারণত আমাদেরকে যখন দুইটি সমীকরণ দেয়া থাকে তখন আমরা কী করি? সমাধান করি। তো এখন আমরা এই দুইটি সমীকরণ সমাধান করব। $B$ সমীকরণের $y$ এর মান $A$ সমীকরণে বসিয়ে পাই, $3x + (3x + 4) = 10$ বা, $6x + 4 = 10$ বা, $x = 1$। এর মান সমীকরণ $A$ তে বসিয়ে পাই, $y = 3.1 + 4 = 7$। তাহলে আমরা সমাধান পেলাম, $(x, y) = (1,7)$। এখন মজার ব্যাপারটা দেখ, আমাদের সমাধানটিও কিন্তু একটি বিন্দু নির্দেশ করতেসে। এই বিন্দুর বৈশিষ্ট্য কী? এই বিন্দুর বৈশিষ্ট্য হল এটি উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে। যেহেতু উভয় সমীকরণ নির্দিষ্ট একটি সরলরেখা নির্দেশ করে তাই এই বিন্দুটি উভয় রেখার সাধারণ বিন্দু। অর্থাৎ, এটিই হল ছেদ বিন্দু! মিলিয়ে দেখো তো কিছুক্ষণ আগে আমরা ছক কাগজে মেপে ছেদ বিন্দুর যে স্থানাঙ্ক বের করেছিলাম তার সাথে এটির মিল আছে কিনা? 😉 তাহলে আমরা কী শিখলাম? একাধিক একঘাত সমীকরণকে সমাধান করলে যা পাওয়া যাবে তা-ই হল সেই সরলরেখাগুলোর ছেদ বিন্দু।

আশা করি এখন আর সমসুয়া হবে না। ঢাল, রেখার সমীকরণ এপ্লাই করে বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের চেষ্টা কর। বিলিভ মি, অন্নেক মজা পাবা। :D অকা, বাই! :)

Ahaan well-explained point slope form and gradient intercept form of the equation of a line. Now, we will investigate which is the best form of equation when given different information.

Given a slope and $y$-intercept.

Given a slope and a point.

Now, we learn two more forms of equation. First, the two-point form. The equation of line crossing two point $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$,

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Next, the intercept form. The equation of line crossing both $x$-axis $(a)$ and $y$-axis $(b)$,

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$$

Given two points.

Given two intercepts.

The slope is essentially the "steepness" of a line. The slope of a line of the form $y=ax+b$ is just $a$.

Slope is commonly remembered as "rise over run" where "rise" is the change in height, or the y-coordinates, and "run" is the change in length, or the x-coordinates. In other words, slope is the change in the y-value according to the x-value. So:

$slope=\frac{rise}{run}$

Great!

To find the slope of a line that connects or goes through two given points, $(x_{1}, y_{1})$ and $(x_{2}, y_{2})$, the slope is found by using the expression $\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$. (It doesn't matter which point is $(x_{1}, y_{1})$ and which one is $(x_{2}, y_{2})$.)

Great job!

There are a few ways of writing the equation of a line. The first and most useful way of writing it is known as slope-intercept form.

If the slope of the line is $m$ and the line crosses the $y$-axis at the point $(0,b)$, the $y$-intercept, then the equation of the line is $$y = mx + b.$$

Clearly, the equation of the line is of the form $y = mx + 3$, where $m$ is the slope. Substituting $(4, 0)$, we get $$0 = 4m + 3 \implies m = - \frac {3}{4},$$ so the equation of the line is $y = - \frac {3}{4} x + 3$. Thus, at $x = 2000$, $y = - 1500 + 3 = \boxed {-1497}$.

Next, we talk about the point slope form of the equation of a line. If a point $(x_1,y_1)$ is crossed by a line with slope $m$, the equation of the line is $$y - y_1 = m \cdot \left( x - x_1 \right),$$ and this is the point-slope form of the equation. It can be used in the same manner as the slope-intercept form of the line.

Finally, two important properties of lines are that the slopes of lines are related in nice ways. If two lines have the same slope, they are ...

Parallel! And if they are perpendicular, how do you think the slopes are related.

Notice that if two lines, $\ell$ and $m$, are perpendicular, it can easily be proven that the product of the slopes of lines $\ell$ and $m$ is $-1$. Exercise for the reader: prove this with simple coordinates and the definition of the slope of a line.