দূরত্ব

আমরা সাধারণত দূরত্ব বলতে কি বুঝি?দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী ব্যবধান,তাইনা?মনে করি একটি রেখাংশের কোনো প্রান্তবিন্দু $O$,সেখান হতে দুটি বিন্দু যথাক্রমে 5 একক এবং 12 একক দূরে একই দিকে অবস্থান করছে।তাহলে আমরা বলতে পারি ঐ দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব (12-5)=7 একক। এবার কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় চিন্তা করি।দ্বিমাত্রিক এই স্থানাংক ব্যবস্থায় কি সর্বদা এই একই পদ্ধতিতে কোনো তলে বিদ্যমান দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব বের করা যাবে?? '

কার্তেসীয় তলে $X$ ও $Y$ নামে দুটি অক্ষ থাকে।এখানে কোনো বিন্দুকে প্রকাশ করার জন্যে দুটি সংখ্যা থাকে,এবং যেকোনো দুটি সংখ্যা একটি অনন্য বিন্দু প্রকাশ করে।এর ১ম সংখ্যা $X$ অক্ষ বরাবর অবস্থান ও ২য় সংখ্যা বিন্দুটির $Y$ অক্ষ বরাবর অবস্থান নির্দেশ করে।

মনে করি দুটি বিন্দু $A(2,5)$ ও $B(6,8)$।আমরা এই দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব বের করতে চাই। ধরি,মূলবিন্দু $O(0,0)$।$A$ ও $B$ হতো $X$ অক্ষেষে উপর লম্ব যথাক্রমে $AD$ ও $BE$ টানি।মনে করি $AC$ হল $A$ হতে $BE$ এর উপর লম্ব।এখন চিত্র হতে দেখা যায় $C(6,5)$।ছবিতে লক্ষ করলে দেখা যায়,$\triangle ABC$ সমকোণী,যেখানে $AB$ অতিভুজ।এখানে $AC=(6-2)=4$ এবং $BC=(8-5)=3$।এখন ত্রিভুজ$ABC$ এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}$ বা,$AB=\sqrt {4^2+3^2}$ বা,$AB=\sqrt {25}$ অর্থাৎ,$AB=5$। অর্থাৎ $A$ ও $B$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব 5 একক।

এবার আসি generalized form এ :-

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় $XY$ তলে দুটি বিন্দু $A$ ও $B$,যাদের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(x_1,y_1)$ ও $(x_2,y_2)$।মনে করি $C(x_2,y_1)$। তাহলে $\triangle ACB$ সমকোণী, যেখানে $\angle ACB=90$।তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $AB=\sqrt {AC^2+BC^2}$। এখন,$AC={y_2}-{y_1}$ এবং $BC={x_2}-{x_1}$। সুতরাং,$AB= \sqrt{({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2}$। এটিই দুটি বিন্দু $A$,$B$ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব।