Lines and Slopes

হ্যালো! :D

আচ্ছা আজকে আমরা একটা ভিন্নধর্মী বিষয়ে আলোচনা করব। বিষয়টি হল ঢাল। প্রথমে ঢাল সম্পর্কে জানা যাক। নিচের চিত্রটি (চিত্র -১) লক্ষ্য কর।

চিত্রটিতে (চিত্র - ১) দেখ, দুইটি সরলরেখা - একটি সবুজ ও আরেকটি লাল। কিন্তু দেখ, দুইটি রেখা কিন্তু একই না। সবুজ রেখাটি $x-$অক্ষের দিকে যতটুকু হেলে আছে, লাল রেখাটি কিন্তু $x-$অক্ষের সাথে তার চেয়ে বেশি পরিমানে হেলে আছে। এই যে, একটা নির্দিষ্ট পরিমানে রেখা গুলো $x-$অক্ষের দিকে হেলে আছে, এই পরিমাণটিই হল ঢাল। অর্থাৎ একটি রেখার ঢাল হল রেখাটির $x-$অক্ষের $1$ একক সরণের জন্য $y-$অক্ষের কতটুকু সরণ হল তার পরিমাণ। তাহলে বলতে পারি যে, $\text{ঢাল} = \dfrac{y- \text{অক্ষে সরণ}}{x- \text{অক্ষে সরণ}}$

আচ্ছা এতো কথা না বলে চল একটা রেখার ঢাল নির্ণয় করি। প্রথমে সবুজ রেখাটির ঢাল নির্ণয় করি।

এখানে দেখ (চিত্র – ২), আমরা প্রথমে সবুজ রেখাটির উপর যেকোনো একটি বিন্দু $E$ নিলাম। এখন এই বিন্দুটি থেকে $x$-অক্ষ বরাবর $1$ একক দূরত্বে $F$ বিন্দুতে আসলাম। তাহলে $F$ বিন্দু থেকে রেখাটিতে যেতে আমাদেরকে $y$-অক্ষ বরাবর $2$ একক দূরত্ব অতিক্রম করতে হল। তাহলে $ঢাল = \dfrac{(y-অক্ষে সরন)}{(x-অক্ষে সরন)} = \dfrac{2}{1} = 2$

আবার দেখ, সবুজ রেখাটির $A$ বিন্দু থেকে $x$-অক্ষ বরাবর 4 একক দূরত্বে I বিন্দু থেকে $y$-অক্ষ বরাবর 8 একক উপরে উঠলে রেখাটি স্পর্শ করা যাবে। তাহলে এক্ষেত্রে $ঢাল = \dfrac{(y-অক্ষে সরন)}{(x-অক্ষে সরন)} = \dfrac{8}{4} = 2$

আশা করি এখন বুঝেছ কিভাবে ঢাল নির্ণয় করছি। তো দেরী কেন? ঝটপট লাল রেখাটির ঢাল নির্ণয় করে ফেল।

আচ্ছা তোমরা বলো তো, ঢাল কি কখনো ঋণাত্মক হতে পারবে? এটা পরীক্ষা করার জন্য নিচের (চিত্র – ৩) রেখাটির ঢাল নির্ণয় কর।

তো আমরা শুরুতে যা করি এবারেও তা করব, প্রথমে একটি বিন্দু বেছে নিব রেখাটির উপরে (চিত্র – ৪)। তো আমরা $C$ বিন্দুটিকে বেছে নিলাম। এখন $C$ থেকে $x$-অক্ষ বরাবর $1$ ধাপ অতিক্রম করে $D$ বিন্দুতে আসলাম। তাহলে $D$ থেকে রেখাকে স্পর্শ করতে আমাদেরকে $y$-অক্ষ বরাবর $1$ ধাপ নিচে নেমে $E$ বিন্দুতে আসতে হবে। খেয়াল করে দেখ, আগের সব ক্ষেত্রে আমরা $y$-অক্ষ বরাবর উপরে উঠেছি। কিন্তু এক্ষেত্রে আমাদেরকে নিচে নামতে হচ্ছে। অর্থাৎ $y$-অক্ষ বরাবর সরণ $-1$. সুতরাং $ঢাল = \dfrac{1}{-1} = -1$.

তাহলে কী বুঝলে? ঢাল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক – দুই-ই হতে পারে। একটা মজার ব্যাপার দেখেছ? রেখা $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকে হেলানো থাকলে ঢাল ধনাত্মক, কিন্তু রেখা যখন $x$-অক্ষের ঋণাত্মক দিকে হেলানো ছিল তখন ঢাল ঋণাত্মক হয়েছে।

আচ্ছা, আশা করি তোমরা এখন ঢাল জিনিসটিকে ধরতে পেরেছ, ফিল করতে পারছ! তো তাহলে এবারে সামনের দিকে আগানো যাক।

আচ্ছা, এতক্ষণ তো আমারা একটা রেখা দেওয়া ছিল, ওইটার ঢাল বের করেছি। কিন্তু যদি তোমাকে রেখা না দিয়ে কার্তেসীয় তলে দুইটি বিন্দু দিয়ে দেওয়া হয়, তবে কি তুমি ওই দুইটি বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করা রেখাটির ঢাল বের করতে পারবে? এটা শুনে তোমরা বলতে পার, এ আর এমন কি! ওই দুইটি বিন্দু যোগ করে যে রেখাটি পাব, এতোক্ষনের নিয়মে একইভাবে এটারও ঢাল বের করব! হু, তোমরা একদম সঠিক বলেছ। কিন্তু দেখ, এভাবে কিন্তু আমাদের অনেক সময় লাগছে। আমাদের উচিত কিভাবে আরো তাড়াতাড়ি ঢাল বের করা যায় তা খুঁজে বের করা। তো চল, চেষ্টা করা যাক।

আমাদেরকে দুইটি বিন্দু – $A(3,1), B(5,5)$ দেওয়া আছে। আমাদেরকে এই দুইটি বিন্দু দিয়ে অতিক্রান্ত রেখাটির ঢাল বের করতে হবে।

তো আগের নিয়মে ঢাল পাব $2$। আচ্ছা এখানে $y$ স্থানাঙ্কে সরণ কত ছিল (চিত্র – ৫)? হু, $4$ ছিল। কিন্তু দেখ তো, $B$ এর $y$ স্থানাঙ্ক $5$ থেকে $A$ এর $y$ স্থানাঙ্ক $1$ বিয়োগ করলেই কিন্তু $y$ স্থানাঙ্কের সরণ পাচ্ছি $(5 – 1 = 4)$। একইভাবে বিন্দু দুইটির $x$ স্থানাঙ্ক বিয়োগ করলে $x$ স্থানাঙ্কের সরণ পাচ্ছি $(5 – 3 = 2)$! তাহলে আমরা ঢাল কে $m$ ধরে এভাবে প্রকাশ করতে পারি, $m = \dfrac{y-স্থানাঙ্কের পরিবর্তন}{x-স্থানাঙ্কের পরিবর্তন} = \dfrac{5-1}{5-3} = 2$

মনে রাখার সুবিধার জন্য ঢাল কে আমরা ওঠা, হাঁটা এর সাথে তুলনা করতে পারি। যেমন, আমরা ঢাল নির্ণয় করতে প্রথমে $x$ অক্ষ বরাবর আগাই বা হাঁটি, তারপর $y$ অক্ষ বরাবর উঠি। তাহলে মাথায় ধারণ করে নাও, $ঢাল (m) = \dfrac{y-স্থানাঙ্কের পরিবর্তন}{x-স্থানাঙ্কের পরিবর্তন} = \dfrac{ওঠা}{হাঁটা}$ .

তো আর দেরি কেন? তোমরা ঝটপট নিচের প্রতিখেত্রে নির্দেশিত বিন্দুদ্বয় দ্বারা অতিক্রান্ত সরল্রেখার ঢাল নির্ণয় কর :

আচ্ছা, তোমরা সর্বশেষ চিত্রটি (চিত্র – ৫) আরেকবার দেখে নাও। এই চিত্রটিতে ওঠা এবং হাঁটার কারনে যে সমকোণী ত্রিভুজ $△ABC$ তৈরি হয়েছে তাতে, $tan∠BAC = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{4}{2} = 2$. আরে, এটি তো আমাদের বের করা ঢালটির মানের সমানই! হ্যাঁ, এটিই হল ঢাল এবং $tan$ এর মধ্যকার সম্পর্ক। বাস্তবিকপক্ষে, কোনো সরল্রেখা দ্বারা $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণ $θ$ ও ঢাল $m$ এর মধ্যে সম্পর্ক হল, $m = tan θ$ । তাহলে দেখ, আমাদের সর্বশেষ চিত্রের রেখাটির ক্ষেত্রে ঢাল, $m = 2$ অর্থাৎ, $tan θ = 2$; বা, $θ = 63.43^0$ , যা একটি সূক্ষ্মকোণ। তাহলে, আমরা বলতে পারি যে, $x$ অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণ সূক্ষ্মকোণ হলে রেখার ঢাল ধনাত্মক এবং উৎপন্ন কোণ স্থূলকোণ হলে ঢাল ঋণাত্মক হবে।

কিন্তু উৎপন্ন কোণ যদি শূন্য অথবা সমকোণ হয় তখন? খটকা লেগেছে? :3 আচ্ছা খটকা বাদ দিয়ে চল একটি সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে এটি বুঝার চেষ্টা করি।

আমাদের কাছে তিনটি বিন্দু $A, B$ এবং $C$ যাদের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $(2,2), (5,2)$ এবং $(2,6)$ দেওয়া আছে। এখন $AB$ ও $AC$ রেখার ঢাল নির্ণয় করতে হবে।

চল প্রথমে $AB$ রেখার ঢাল নির্ণয় করি। $AB$ রেখার ঢাল, $m_1= \dfrac{y-স্থানাঙ্কের পরিবর্তন}{x-স্থানাঙ্কের পরিবর্তন} = {2-2}{5-2} = 0$

অর্থাৎ ঢাল $0$। আজগুবি লাগছে? আচ্ছা চল, আরো বিশ্লেষণ করি।

আমরা তো জানি যে, $m = tan θ$.

তাহলে, $m = tan θ$;

বা, $θ = 0^0$।

অর্থাৎ এই রেখাটি $0^0$ কোণ উৎপন্ন করেছে।

এবারে, $AC$ রেখার ঢাল বের করি। $AC$ রেখার ঢাল, $m_2 = \dfrac{y-স্থানাঙ্কের পরিবর্তন}{(x-স্থানাঙ্কের পরিবর্তন} = \dfrac{6-2}{2-2}$

কিন্তু, $2 – 2 = 0$। অর্থাৎ $m_2$ অসঙ্গায়িত। এ কেমন ঢাল! দেখা যাক, এই ঢালটি দেখতে কেমন (চিত্র -৬)।

এখানে দেখ (চিত্র – ৬), $AB$ রেখাটি (লাল) $x$-অক্ষের সাথে সমান্তরাল, এ কারণেই আমরা $0^0$ কোণ পেয়েছিলাম। আবার দেখ, $AC$ রেখাটি (সবুজ) কিন্তু $y$-অক্ষের সাথে সমান্তরাল এবং $x$-অক্ষের সাথে $90^0$ কোণ উৎপন্ন করেছে। যার কারনে $m_2 = tan90^0 =$ অসঙ্গায়িত।

আমরা কিন্তু এটিকে আমাদের ওঠা, হাঁটা এর সাথে তুলনা করতে পারি। লক্ষ্য কর, যদি $x_1 = x_2$ হয়, তাহলে রেখাটি $y$-অক্ষের সমান্তরাল অর্থাৎ $x$-অক্ষের উপর লম্ব হয়। এই রকম লম্ব রেখা বরাবর বা খাড়া রেখা বরাবর হাঁটা সম্ভব নয়। তাই ঢাল নির্ণয় করাও সম্ভব নয়। :D

আচ্ছা এবারে ঢাল সম্পর্কে আরো মজার কিছু জানব।

$A(1,-1), B(2,2)$ এবং $C(3,t)$ বিন্দু তিনটি সমরেখ। আমাদেরকে $t$ এর মান বের করতে হবে।

নিশ্চয় তোমরা জান, সমরেখ মানে কি? অর্থাৎ বিন্দু তিনটি একই রেখার উপর অবস্থিত। তাহলে আমরা ত এর মান কিভাবে বের করতে পারি। আচ্ছা, আমরা কী নিয়ে আলোচনা করছি যেন? ও হ্যাঁ, ঢাল নিয়ে। তাহলে নিশ্চয় এখানে ঢাল ব্যবহার করতে হবে :P কিন্তু, আমরা এক্ষেত্রে কিভাবে ঢাল ব্যবহার ক্রে $t$ এর মান বের করতে পারি? আচ্ছা, বিন্দু তিনটি তো সমরেখ, এ থেকে আমরা কী পাই? আমরা যদি দুইটি করে বিন্দু নিয়ে ঢাল বের করি, তাহলে যে তিনটি ঢাল পাব, তারা নিশ্চয় সমান হবে। কেননা, রেখা তিনটি তো আসলে একই রেখা-ই। তাহলে মূল রেখার ঢাল যা হবে ওই তিনটি রেখার ও ঢাল একই হবে।

এখানে আমাদেরকে তিনটি ঢাল বের করার দরকার নেই, দুইটিই যথেষ্ট। কারণ আমাদের লক্ষ হচ্ছে যে ওই দুইটি ঢালকে সমান দেখিয়ে যে সমীকরণটি পাব, তা থেকে খুব সহজেই $t$ এর মান নির্ণয় করতে পারব। তাহলে বল, আমরা কোন দুইটি রেখার ঢাল নির্ণয় করলে ভাল হবে? এটা তো বুঝতে পারছ যে, একটি রেখা হতে হবে অবশ্যয় $C$ বিন্দুকে নিয়ে। আরেকটি রেখা হতে হবে $C$ বিন্দুকে বাদ দিয়ে। অর্থাৎ অবশ্যয় রেখাটি AB হতে হবে। তাহলে চল, আগে $AB$ রেখার ঢাল বের করি। $AB$ রেখার ঢাল, $m_1 = \dfrac{2+1}{2-1} = 3$ . আবার, $BC$ রেখার ঢাল, $m_2 = \dfrac{t - 2}{4 - 2} = \dfrac{t - 2}{2}$ .

যেহেতু, $m_1 = m_2$, তাই $3 = \dfrac{t - 2}{2}$। এখান থেকে খুব সহজেই আমরা বলতে $t$ এর মান পাই $8$। ওয়াও! অনেক কুল ছিল না?

আচ্ছা তাড়াতাড়ি আরেকটি জিনিস জানার চেষ্টা করব। একটু আগে আমরা দেখলাম যে, একই রেখার উপর বিন্দু থাকলে, তবে প্রতি জোড়া বিন্দুদ্বয়ের ঢাল সমান হবে।

আচ্ছা, যদি দুইটি রেখা সমান্তরাল হয়, তখন কী হবে? আমরা ঢাল্কে কীভাবে ব্যবহার করব? ঢালের সংজ্ঞা কী ছিল মনে আছে? $x$-অক্ষের সাথে রেখা যে কোণ উৎপন্ন করে তার $tan$ অনুপাত। তাহলে বুঝতে পারছ যে, সমান্তরাল দুইটি রেখা তো $x$-অক্ষের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করবে, তাই না? তার মানে তাদের ঢালও সমান হবে (চিত্র – ৭)।

এই জিনিস্টি আরো ভালভাবে বুঝার জন্য একটা উদাহরণ দেওয়া যাক।

$A(t,3t), B(t2,2t), C(t-2, t)$ এবং $D(1,1)$ চারটি ভিন্ন বিন্দু। যেখানে $AB$ ও $CD$ রেখা সমান্তরাল। $t$ এর সকল মান বের করতে হবে।

একটু আগেই বললাম যে, দুইটি রেখা সমান্তরাল হলে তাদের ঢাল সমান হবে। তার মানে $AB$ ও $CD$ রেখাদ্বয়ের ঢালও সমান হবে। তো ঝটপট মান নির্ণয় করে ফেল।

কত এসেছে মান? $-1$ এবং $2$? একদম সঠিক! রেখা দুইটি তোমরা নিজেরা এঁকে দেখতে পার।

তো কেমন লাগল? ঢাল একটু বেশি সেরা না? আমি যখন প্রথম প্রথম ঢাল এর ব্যবহার শিখেছিলাম তখন টানা ৬-৭ দিন শুধু ঢাল ব্যবহার করেই প্রব্লেম সল্ভ করেছিলাম। :D এক্ষেত্রে আমি আরেকটা জিনিস শিখেছিলাম, সেটা হল সরলরেখার সমীকরণ। এটা ঢাল রিলেটেড একটি বিষয় এবং তোমরা যেহেতু ঢাল এর ব্যবহার শিখেছ, তাই আর্টিকেলটি এখন-ই পড়ে ফেল। লিঙ্ক - https://www.expii.com/t/equation-of-a-line-1317

তো তোমরা এটা পড়তে থাকো, আমি যাই, বাই! :)