পুনরালোচনা: কার্তেসিয় স্থানাঙ্কে দূরত্বের সূত্র

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক জ্যামিতির বিভিন্ন সমস্যায় আমাদের প্রায়ই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের প্রয়োজন হয়। আচ্ছা, যদি তোমাকে $x$ অক্ষের ওপর দুটি বিন্দু দেওয়া হয় তাহলে তুমি কীভাবে দূরত্ব নির্ণয় করবে?

এখানে দুরত্ব পরিমাপ করতে হলে তুমি নিশ্চয়ই $B$ এর y স্থানাঙ্ক থেকে $A$ এর y স্থানাঙ্ক বিয়োগ করবে। এভাবে আমরা পাই যে AB এর দূরত্ব $6$।

তাহলে $x$ অক্ষের সমান্তরাল দুই বিন্দুর মধ্যে দুরত্ব হবে বিন্দু দুটির $x$ স্থানাঙ্কের পার্থক্য। একই ভাবে, $y$ অক্ষের সমান্তরাল দুই বিন্দুর মধ্যে দুরত্ব হবে বিন্দু দুটির $y$ স্থানাঙ্কের পার্থক্য।

আচ্ছা, যদি দুই বিন্দুর $x$ স্থানাঙ্ক বা $y$ স্থানাঙ্ক সমান না হয়, তখন তো এই পদ্ধতিতে সমাধান করা যায় না। তাহলে আমাদের একটি নতুন উপায় বের করতে হবে।তোমরা নিশ্চয়ই পিথাগোরাসের উপপাদ্যের নাম শুনেছো। না শুনে থাকলে এই লেখাটি দেখতে পারো https://www.expii.com/t/pythagorean-theorem-913।

আমরা দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করব। মনে কর, নিচের চিত্রের $A=(x_1,y_1)$ ও $B=(x_2,y_2)$ এর মধ্যে দুরত্ব বের করতে হবে।

আমরা যেহেতু $x$ অক্ষ ও $y$ অক্ষ এর সমান্তরাল দুই বিন্দুর দুরত্ব নির্ণয় করতে জানি, তাহলে এমন এক বিন্দু $C$ নেই যেন $AC$ $x$ অক্ষের সাপেক্ষে সমান্তরাল ও $BC$ $y$ অক্ষের সাপেক্ষে সমান্তরাল।

আমরা আমাদের আগের সূত্র দিয়ে $AC$ ও $BC$ এর দুরত্ব বের করতে পারব। আর যেহেতু $AC\perp BC$, আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে $AB$ এর দুরত্ব নির্ণয় করতে পারি। তাহলে চল সূত্রটি বের করে ফেলি।

এখানে $A$ এবং $C$ এর দুরত্ব হলো $|x_2-x_1|$ কেননা $A$ ও $C$ এর $x$ স্থানাঙ্ক হলো যথাক্রমে $x_1$ ও $x_2$। একই ভাবে $B$ এবং $C$ এর দুরত্ব হলো $|y_2-y_1|$।

তাহলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $A$ এবং $B$ এর দুরত্ব হবে $\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$। এখানে আমরা পরমমান ব্যবহার করিনি কেননা বর্গ করা হলে বাস্তব সংখ্যা সবসময় ধনাত্বক হয়।

আর এটিই হলো আমাদের কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে দুটি বিন্দুর মধ্যে দুরত্ব নির্ণয়ের সূত্র।

Usually, you can't make difficult things in life disappear and replace them with easy things, but in the case of finding distances, you can! Let's just think about right triangles for a second. We all like right triangles, because we know a lot about them. Now let's go back to thinking of distances on a coordinate plane.

So we have this line segment and we want to find its length. Again, let's go back to thinking about right triangles and see if we can find one in this diagram.

See it now?? Now all we have to do is Pythagorean Theorem to find the length of the line segment (which is now the hypotenuse!)

And now you have your answer!!

This process has been condensed into a formula known simply as the Distance Formula.

This may look hard, but always remember that it is just Pythagorean Theorem!!!

For example, in our question, we could have used this formula.

Distance between two points

Finding the distance

Imagine that we are given two points on the Cartesian plane, $A=(2,1)$ and $B=(5,3)$. We need to determine the length of the blue line segment $AB$ joining these two points.

In real life, we could just use a ruler, but that wouldn't give us an exact measurement.

So, what do we do?

We can measure horizontal or vertical distances easily, since we can just look at the difference between $x$ or $y$ coordinates.

In this example, the horizontal distance (which I will call $d_H$) between $A$ and $B$ is just the difference in their $x$ values: $$d_H = 5-2 = 3$$

The vertical distance ($d_V$) is the difference in their $y$ values:

These lengths are represented by the dotted green line segments in the diagram below:

We don't know what the distance between $A$ and $B$ is yet, but we now have a right-angled triangle with two sides.

By the Theorem of Pythagoras, we know how to calculate the length of the hypotenuse... and the hypotenuse is the same as $AB$. This means that we can find the distance:

Let $d=$ the distance between $A$ and $B$. Then:

Finding a formula

If we had to use the method above every time we wanted to find the distance between two points, we'd actually be wasting a bit of time. We can work out a formula that we can use instead.

To do this, we generalise. Let $A=(x_1,y_1)$ and let $B=(x_2,y_2)$.

Then we know that the horizontal distance between $A$ and $B$ is $x_2-x_1$ and the vertical distance between them is $y_2 - y_1$. (If you struggle to see this, compare the general diagram below to diagram with numbers further up in the explanation.)

From this, we continue using the same method as before to find $d_{AB}$, the distance between $A$ and $B$:

This last line gives us an expression to find the distance between two points $A$ and $B$ when we know their coordinates.

Use the formula to find the distance between pairs of coordinates given in each case:

Considering a Cartesian system where we need to find the distance between two points namely $A(x_A,y_A)$ and $B(x_B,y_B)$.

We can now draw the following lines parallel to x axis and y axis from these points to obtain a right triangle , where hypotenuse is the distance between the two points as shown:

Thus, substituting the coordinates to the above figure. We can find the length of the sides of the triangle as follows.

Now, using the famous PYTHAGORAS THEOREM where: $$(Hypotenuse)^2 = (Height)^2 + (Base)^2$$ $$(Hypotenuse)^2 = (y_B-y_A)^2 + (x_B-x_A)^2$$

Thus,

Distance between two points = $\sqrt{(y_B-y_A)^2 + (x_B-x_A)^2}$

Cheers!

We have two points here, $A(x_1,y_1)$ and $B(x_2,y_2)$, and we need to find the distance between them.

How can we do this? Well, let's start with a sample problem.

Okay, we have the points $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ We would know how to do this if one of the points was $(0,0)$. Just do $\sqrt{(height)^2+(length)^2}$. Say, why don't we MAKE one of the points $(0,0)$? Translating the first point $(x_1,y_1)$ to $(0,0)$, we also have to subtract $x_1$ from $x_2$, and $y_1$ from $y_2$ (this will not affect the distance). So, our new points are $(x_2-x_1,y_2-y_1)$, and $(0,0)$. Therefore, the length (leg 1) is $x_2-x_1$, and the height (leg 2) is $y_2-y_1$. So, the distance between $(x_1,y_1)$ and $(x_2,y_2)$ is $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ (also notice that it's the same thing $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$).