উদাহরণ: মধ্যমার সংজ্ঞা ও ভরকেন্দ্রের অস্তিত্বের প্রমাণ

মনে করি, $\triangle ABC$ একটি সাধারণ (!) ত্রিভুজ। এই ত্রিভুজের তিন বাহুর উপর তিনটি বিন্দু রয়েছে। ধরি $P, Q, R$ এই বিন্দু তিনটি যথাক্রমে ত্রিভুজ টির $BC, CA, AB$ বাহুর উপর রয়েছে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, $P, Q, R$ হল যথাক্রমে $BC, CA, AB$ এর মধ্যবিন্দু!

পরিচয় পর্ব শেষ ! এখন তবে নিচের চিত্রটি দেখা যাক :

এতক্ষণ যা বক বক করা হল তাই চিত্রে দেখা যাচ্ছে, তাই না? এখন তবে নিচের চিত্রটি দেখি:

আমরা $A$ এবং $P$ কে বন্ধু বানিয়ে দিলাম! এখন যে নতুন $AP$ রেখাংশ পাওয়া গেল সেটিকেই আমরা মধ্যমা বলব। অর্থাত, যখন কোনো ত্রিভুজের কোনো মাথা (?) বা শীর্ষবিন্দু এর সাথে তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ করে রেখাংশ আঁকা হয় তবে তাকে মধ্যমা বা Median বলে।

মধ্যক কী আমরা তা জানালাম। ভরকেন্দ্র টা আবার কী? চল নিচের চিত্রটি দেখি:

আমরা দেখতে পাচ্ছি, ত্রিভুজটির তিনটি মধ্যমা একটি বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। এই বিন্দুটিই ভরকেন্দ্র। এখন কথা হচ্ছে, মধ্যমা তিনটি যে সবসময় এক বিন্দুতে মিলে তার নিশ্চয়তা কী? যদি তাদের মধ্যে জমিজমা (!) নিয়ে দ্বন্দ্ব থাকে?? তবে তো তারা কখনোই এক হবে না। তাহলে?

এজন্যই আমাদের ভরকেন্দ্রের অস্তিত্ব প্রমাণ করতে হবে। কিন্তু কীভাবে?

আমরা ধাপে ধাপে প্রমাণের চেষ্টা করব। প্রথমেই নিচের চিত্রটি দেখি। আগের মতই সব কিছুকে নাম দিয়ে, আমরা ধরে নিলাম $BQ$ এবং $CR$ পরস্পরকে $G$ বিন্দুতে ছেদ করে। এবং $R$ ও $Q$ যোগ করলাম।

প্রথমেই দেখি $\triangle ABC$ এবং $\triangle ARQ$ এ, $$\angle BAC = \angle RAQ$$, এবং $$\frac {AB}{AR} = \frac {AC}{AQ} = 2$$ সুতরাং, বাহু-কোণ-বাহু সদৃশ্যতা উপপাদ্য অনুসারে $\triangle ABC$ এবং $\triangle ARQ$ সদৃশ। অর্থাত, $$\angle ABC = \angle ARQ$$ এবং $$\angle ACB = \angle AQR$$

এখন, $BC \parallel RQ$ এই সম্পর্ক থেকে আমরা $\triangle BCG$ ও $\triangle QRG$ কে সদৃশ বলতে পারি। (কীভাবে??) সুতরাং $\triangle BCG$ ও $\triangle QRG$ এর সদৃশ বাহুগুলোর অনুপাত সমান। অর্থাত, $$\frac {BC}{QR} = \frac {CG}{RG} = \frac {BG}{QG}$$ যেহেতু আমরা জানি যে,$$\frac {BC}{QR} = 2$$ আমরা লিখতে পারি, $CG = 2\cdot RG$ এবং $BG = 2 \cdot QG$। অন্যভাবে লিখলে, $BG = \frac {1}{3}\cdot BQ$ এবং $CG ​=​ ​\frac​ ​{1}{3}\cdot​ ​CR$। এখন আমরা $AP$ ও $BQ$ কে নিয়ে একইভাবে দেখাব যে, যদি $AP$ ও $BQ$ পরস্পরকে $G’$ বিন্দুতে ছেদ করে তবে, $AG’ ​=​ ​\frac​ ​{1}{3}\cdot​ ​AP$ এবং $BG​’ ​=​ ​\frac​ ​{1}{3}\cdot​ ​BQ$। বল তো এর অর্থ কী? এর অর্থ, $G$ ও $G’$ আসলে একই বিন্দু !! তার মানে $AP,\ BQ$ এবং $CR$ একই বিন্দু (এক্ষেত্রে $G$) দিয়ে যায়। আমাদের প্রমাণ করা শেষ ☺