বহিঃস্থ কোণ উপপাদ্য

ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ উপপাদ্য

হ্যালো!

আমরা সবাই নিশ্চয় ত্রিভুজ সম্পর্কে মোটামুটি জানি এবং জ্যামিতির দুনিয়ায় এই ত্রিভুজকে বিভিন্নভাবে কাজে লাগাই। আমরা যখন ত্রিভুজের উপর অ্যাঙ্গেল চেজ করি তখন আমরা ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ উপপাদ্য কে বিভিন্ন ভাবে ব্যবহার করে থাকি। এখানে আমরা ‘ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ উপপাদ্য’ নিয়ে আলোচনা করব।

আচ্ছা, আমরা কি জানি ত্রিভুজের বহিঃস্থ কিংবা অন্তঃস্থ কোণ কোনগুলো? চল প্রথমে ত্রিভুজ এর বহিঃস্থ এবং অন্তঃস্থ কোণ সম্পর্কে জেনে নিই।

কোন ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ এবং ত্রিভুজের ভিতরে অবস্থিত কোণগুলো ত্রিভুজটির অন্তঃস্থ কোণ।

নিচের চিত্রটিকে লক্ষ্য কর।

চিত্রে $\triangle ABC$ এর $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করার ফলে যে নতুন কোণ $\angle ACD$ উৎপন্ন হয়েছে তা হল ত্রিভুজটির একটি বহিঃস্থ কোণ। $\angle ABC$, $\angle BAC$, $\angle ACB$ হল ত্রিভুজটির তিনটি অন্তঃস্থ কোণ। এদের মধ্যে আবার $\angle ACB$ হল $\angle ACD$ এর সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণ। $\angle ABC$ ও $\angle BAC$ হল $\angle ACD$ এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ। আশা করি, অন্তঃস্থ কোণ এবং বহিঃস্থ কোণ সম্পর্কে আমরা সবাই মোটামুটি বুঝেছি।

এবারে আমাদের মূল প্রসঙ্গে আসা যাক।

‘ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ উপপাদ্য’ কী তা জেনে নিই। ‘ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ উপপাদ্য’ - ‘ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।’ অর্থাৎ $\angle ACD = \angle ABC + \angle BAC$. এখন আমরা এটি প্রমাণ করব।

প্রথমে আমরা একটা ত্রিভুজ আঁকব।

হুররে! আমরা একটা খুব সুন্দর ত্রিভুজ এঁকে ফেললাম।

এখন আমরা $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করি এবং $BA$ রেখার সমান্তরাল করে $CE$ রেখা আঁকি।

ওয়াও!

তোমাদের মাথায় এই প্রশ্নটা আসতেই পারে যে, কেন আমরা $BA$ রেখার সমান্তরাল করে $CE$ রেখা আঁকলাম? আসলে একটা সমান্তরাল সরলরেখা আঁকার ফলে আমরা বিভিন্ন ধরণের কোণ পাব এবং আমরা সমান্তরাল সরলরেখা সম্পর্কিত বিভিন্ন প্রতিজ্ঞা জানি, যেমন- একান্তর কোণগুলো সমান, অনুরূপ কোণগুলো সমান ইত্যাদি। এতে এগুলো প্রয়োগ করে আমরা যেটা প্রমাণ করতে চাচ্ছিলাম সহজেই তা প্রমাণ করতে পারব।

চল আমরা ত্রিভুজটাকে নিয়ে একটু গবেষণা করি।

খেয়াল করলে দেখতে পাবে যে,

$\angle BAC = \angle ACE \quad ..... \quad (1)$

কিন্তু কেন?

তোমার মনে আছে কি, আমরা $BA$ রেখার সমান্তরাল করে $CE$ রেখা এঁকেছিলাম। আমরা সবাই নিশ্চয় জানি যে, একজোড়া সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত একান্তর কোণদ্বয় সমান হবে। এখানে $\angle BAC$ এবং $\angle ACE$ পরস্পর একান্তর কোণ। সুতরাং $\angle BAC = \angle ACE$।

এবার আমরা আরও কিছু খোঁজার চেষ্টা করি।

ইয়াহু! আমরা আরেকটা কোণ পেয়ে গেলাম আর তা হল,

$\angle ABC = \angle ECD \quad .....\quad (2)$

ব্যাপারটা কি ধরতে পেরেছ?

হ্যাঁ। তুমি একদম সঠিক ধরেছ। যেহেতু BA এবং CE রেখা পরস্পর সমান্তরাল সেহেতু অনুরুপ কোণদ্বয় $\angle ABC$ এবং $\angle ECD$ পরস্পর সমান হবে। অর্থাৎ $\angle ABC = \angle ECD$.

আমরা সমীকরণ $(1)$ এবং $(2)$ থেকে দেখতে পাই,

$\angle BAC = \angle ACE \quad ..... \quad (1)$

$\angle ABC = \angle ECD \quad .....\quad (2)$

এখন আমরা সমীকরণদ্বয়কে যোগ করব এবং যা পাবো তা হল,

$\angle BAC + \angle ABC = \angle ACE + \angle ECD$

এবারে নিচের চিত্রটির দিকে লক্ষ্য কর।

চিত্রে, $\angle ACE + \angle ECD = \angle ACD$

যেহেতু, $\angle BAC + \angle ABC = \angle ACE + \angle ECD$

সুতরাং $\angle BAC + \angle ABC = \angle ACD$

অর্থাৎ ত্রিভুজটির বহিঃস্থ কোণ $\angle ACD$ তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয় $\angle BAC, \angle ABC$ এর সমষ্টির সমান। এটিই তো আমরা প্রমাণ করতে চাচ্ছিলাম!

ত্রিভুজের বহিঃস্থ কোণ উপপাদ্য থেকে এটাও দেখানো যায় যে, ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর। এই দুটি উপপাদ্য খুব গুরুত্বপূর্ণ এবং এগুলো ব্যাবহার করে বিভিন্ন ধরনের সমস্যা সমাধান করা যায়।

কিছু সমস্যা

১. $\triangle ABC$ এর $\angle ABC = 90°$, $\angle BAC = 48°$ এবং $BD$, $AC$ এর উপর লম্ব। $\angle ACB$, $\angle ABD$, $\angle DBC$ এর মান নির্ণয় কর।

২. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত কোণটির মান 50°। অবশিষ্ট কোণ দুইটির মান নির্ণয় কর।

৩. প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণের সমান।

৪. দুইটি রেখা $PQ$ এবং $RS$ পরস্পর $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। $PQ$ এবং $RS$ এর উপর যথাক্রমে $L$ ও $M$ এবং $E$ ও $F$ চারটি বিন্দু যেন, $RS$ এর উপর $LM$ লম্ব এবং $PQ$ এর উপর $EF$ লম্ব। প্রমাণ কর যে, $\angle MLO = \angle FEO$.

৫. $\triangle ABC$ এর $BC$ এর উপর $AC$ লম্ব। $E$, $AC$ এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং $AB$ এর উপর $ED$ লম্ব। $ED$ এবং $BC$ পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, $\angle CEO = \angle DBO$.

ভালো থেকো!

The exterior angle theorem states that the measure of an exterior angle of a triangle is greater than either of the measures of the remote interior angles.

Proof. First, look at this diagram. Note, here, that $\angle 4$ is the exterior angle. Now, note that from the Triangle Angle Sum theorem, $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ and $\angle 3 + \angle 4= 180^\circ$ since they are supplementary. Hence: $$\angle 3 = 180^\circ - \angle 1 - \angle 2 = 180^\circ - \angle 4 \implies \angle 4 = \angle 1 + \angle 2,$$and this is what we wanted to show. $\Box$

I'm attaching the same worksheet as I did for a different explanation. However, I only wish for you to do questions 11-20, and also, rather than doing the calculation $180º - \theta$, please use the exterior angle theorem and divide $360º$ by the amount of sides in the polygon.