ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি

ত্রিভুজের অন্তঃস্থ তিন কোণের সমষ্টি

হ্যালো! :)

আমরা সবাই নিশ্চয় ত্রিভুজ সম্পর্কে মোটামুটি জানি এবং জ্যামিতির দুনিয়ায় এই ত্রিভুজকে বিভিন্নভাবে কাজে লাগাই। ত্রিভুজ নিয়ে যেকোনো আলোচনাতেই আমরা যেটা সাধারনত ব্যবহার করে থাকি সেটা হল ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি।

আচ্ছা, ত্রিভুজ এর তিন কোণের সমষ্টি কত? ত্রিভুজ এর তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°। কিন্তু কেন? আমরা কি জানি? যদি না জেনে থাকি চিন্তার কোন কারণ নেই। কেননা কিছুক্ষণের মধ্যেই আমরা এটা জেনে যাব। :)

চল শুরু করা যাক।

প্রথমে আমরা একটা ত্রিভুজ আঁকব।

হুররে! আমরা একটা খুব সুন্দর ত্রিভুজ এঁকে ফেললাম। :)

এখন আমরা $BC$ বাহুকে $D$ পর্যন্ত বর্ধিত করি এবং $BA$ রেখার সমান্তরাল করে $CE$ রেখা আঁকি।

ওয়াও!

তোমাদের মাথায় এই প্রশ্নটা আসতেই পারে যে, কেন আমরা $BA$ রেখার সমান্তরাল করে $CE$ রেখা আঁকলাম? আসলে আমরা এটা দেখাচ্ছি যে ত্রিভুজ এর তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°। এখানে একটা সমান্তরাল রেখা আঁকার ফলে আমরা বিভিন্ন কোণ পাব। এতে ত্রিভুজ এর তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° দেখাতে সহজ হবে। তাছাড়া আমরা জানি যে, একই সরলরেখার উপর দণ্ডায়মান সন্নিহিত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°। তাই যদি আমরা ত্রিভুজটির তিনটি কোণকে একই সরলরেখার উপর দেখাতে পারি তাহলে আমাদের কাজ হয়ে যাবে।

চল আমরা এখন ত্রিভুজটাকে নিয়ে একটু গবেষণা করি। খেয়াল করলে দেখতে পাবে যে,

$\angle BAC = \angle ACE \quad ..... \quad (1)$

কিন্তু কেন?

তোমার মনে আছে কি, আমরা $BA$ রেখার সমান্তরাল করে $CE$ রেখা এঁকেছিলাম।

আমরা সবাই নিশ্চয় জানি যে একজোড়া সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে অবস্থিত একান্তর কোণদ্বয় সমান হবে। এখানে $\angle BAC$ এবং $\angle ACE$ একান্তর কোণ। সুতরাং $\angle BAC = \angle ACE$ ।

এবার আমরা আরও কিছু খোঁজার চেষ্টা করি।

ইয়াহু! আমরা আরেকটা কোণ পেয়ে গেলাম আর তা হল,

$\angle ABC = \angle ECD \quad .....\quad (2)$

ব্যাপারটা কি ধরতে পেরেছ?

হ্যাঁ। তুমি একদম সঠিক ধরেছ। যেহেতু BA এবং CE রেখা পরস্পর সমান্তরাল সেহেতু অনুরুপ কোণদ্বয় <ABC এবং $\angle ECD$ ও পরস্পর সমান হবে। অর্থাৎ $\angle ABC = \angle ECD$ ।

আমরা সমীকরণ $(1)$ এবং $(2)$ থেকে দেখতে পাই,

$\angle BAC = \angle ACE \quad ..... \quad (1)$

$\angle ABC = \angle ECD \quad .....\quad (2)$

এখন আমরা সমীকরণদ্বয়কে যোগ করব এবং যা পাবো তা হল,

$\angle BAC + \angle ABC = \angle ACE + \angle ECD$

এবারে উভয়পক্ষে $\angle ACB$ যোগ করি।

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = \angle ACE + \angle ECD + \angle ACB$

ডানপক্ষ কি আমাদেরকে কিছু বলতে চাচ্ছে? হ্যাঁ! ডানপক্ষের তিনটি কোণই আমাদেরকে বলতে চাচ্ছে যে তারা একটি সরলরেখার উপর অবস্থিত এবং আমরা জানি যে একটি সরলরেখার উপর দণ্ডায়মান সন্নিহিত কোণগুলোর যোগফল ১৮০°।

সুতরাং $\angle ACE + \angle ECD + \angle ACB = 180°$

যেহেতু $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = \angle ACE + \angle ECD + \angle ACB$

সুতরাং $\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180°$

হুররে! আমরা যেটা চেয়েছিলাম সেটা আমরা পেয়ে গেছি।

অর্থাৎ ত্রিভুজ এর তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।

কিছু সমস্যা

১. $\triangle ABC$ এর $\angle ABC = 90°, \angle BAC = 48°$ এবং BD, AC এর উপর লম্ব। $\angle ACB, \angle ABD, \angle DBC$ এর মান নির্ণয় কর।

২. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত কোণটির মান 50°। অবশিষ্ট কোণ দুইটির মান নির্ণয় কর।

৩. প্রমাণ কর যে, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণের সমান।

৪. দুইটি রেখা PQ এবং RS পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ এবং RS এর উপর যথাক্রমে L ও M এবং E ও F চারটি বিন্দু যেন, RS এর উপর LM লম্ব এবং PQ এর উপর EF লম্ব। প্রমাণ কর যে, $\angle MLO = \angle FEO$.

৫. $\triangle ABC$ এর BC এর উপর AC লম্ব। E, AC এর বর্ধিতাংশের উপর যেকোনো বিন্দু এবং AB এর উপর ED লম্ব। ED এবং BC পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, $\angle CEO = \angle DBO$.

ভালো থেকো!

The sum of the interior angles in a triangle is $180^\circ$. You can prove this by setting one of the vertices of the triangle onto a line parallel to the base. Now think about it: you have 2 transversals intersecting the parallel lines. What do you know about the angles that the transversal makes with the parallel lines? Yes, that's correct: alternate interior angles are congruent. So, you now have 2 alternate interior angles, congruent to 2 of the angles of the triangle. What do you do with this info? What's the third angle on the line? Wait a moment, it's the third angle of the triangle! Wow, so it's proven: the sum of the interior angles in a triangle is $180^\circ$.

As we know, the sum of the interior angles $\alpha$, $\beta$, and $\gamma$ is $180^\circ$. Our exterior angles are $180-\alpha$, $180-\beta$, and $180-\gamma$.

Now, there's only one more step: Getting rid of the $\alpha$, $\beta$, and $\gamma$. But I gave you an equation involving their sum in the very first sentence.